Контур, эквивалентный связанным контурам. Вносимые сопротивления.

Рассмотрим систему двух колебательных контуров с трансформаторной связью, в которой к первому контуру подключен источник э.д.с. e(t) (рис. 2,а), а r1 и r2 - выделенные для анализа сопротивления потерь в контурах.

а

б

Рис.2. Система двух колебательных контуров с трансформаторной связью (а) и ее эквивалентная схема (б)

Запишем для каждого контура уравнения Кирхгофа

(4)

Считая э.д.с. синусоидальной и режим в цепи установившимся, можно воспользоваться символическим методом анализа. Тогда ; и (4) принимает вид

(5)

Обозначив реактивное сопротивление первого и второго контуров через X1 и X2, (5) можно записать так:

(6)

Найдем из второго уравнения

(7)

Обозначив wМ = XСВ (сопротивление связи), (7) можно переписать так:

Подставив значение из (7) в первое уравнение системы (6)

Освободившись от мнимости в знаменателе, получим

или

так как .

Поделив в полученном выражении приложенную э.д.с. на ток запишем выражение для эквивалентного входного сопротивления системы двух связанных колебательных контуров

(8)

Модуль сопротивления Z1Э равен

(9)

Анализ (8) показывает, что в результате связи первого контура со вторым в первый контур как бы вносятся два сопротивления: активное

и реактивное (10)

Таким образом, систему двух связанных колебательных конту­ров можно заменить одним эквивалентным контуром (рис. 2, б), в который вносится сопротивление

Коэффициент связи при различных видах связи – ДОДЕЛАТЬ111

Вносимое сопротивление трансформатора

Пусть к выходным зажимам трансформатора по рис. 6.17 подключен приемник с сопротивлением Zн.

Zн = Rн + jXн.

Рис.6.17. Схема нагруженного трансформатора

Вновь составим систему уравнений для данной цепи по законам Кирхгофа с учетом выбранного направления обхода. Классификация электрических аппаратов Лабораторные работы по электротехнике

133 (6.23)

Выразим из второго уравнения ток и подставим его в первое уравнение. Так как , то получим следующее выражение для тока :

.

Подставляя его в первое уравнение, получим

; 134(6.24)

.

Проведя ряд алгебраических преобразований, получим следующее выражение для тока

.

Обозначим

, 135(6.25)

, 136(6.26)

где Rвн и Xвн – соответственно активное и реактивное вносимые сопротивления трансформатора.

Тогда окончательно имеем

. 137(6.27)

Физически вносимое сопротивление представляет собой такое сопротивление, включенное последовательно с первичной обмоткой, которое позволяет учесть влияние тока нагрузки на ток .

Построим векторную диаграмму трансформатора под нагрузкой.

Пусть в качестве нагрузки используется активно-индуктивный потребитель (н > 0). Для построения диаграммы используем составленную выше систему уравнений (6.23). Построение векторной диаграммы, приведенной на рис. 6.18, целесообразно начать с тока , совместив его для определенности с осью вещественных чисел.

Рис.6.18.Векторная диаграмма трансформатора под нагрузкой

В теории электрических цепей допускается возможность однозначной, не зависящей от выбора пути, оценки электрических напряжений меду любыми двумя зажимами исследуемой электрической цепи. Это позволяет определять электрическое напряжение как разность потенциалов между соответствующими зажимами электрической цепи. Между зажимами 1-2. (рис. 1.2.) напряжение можно определить двумя способами:

;

, где – потенциалы соответствующих зажимов.

Так как , то .

Таким образом, напряжение может принимать лишь положительные или отрицательные значения. Направление отсчета напряжения указывается стрелкой на схеме цепи. Например, напряжение , показанное на рис. 1.2. есть напряжение : острие стрелки направлено к тому зажиму, из потенциала которого вычитается потенциал другого зажима.

Если в данный момент времени , то .

Указанное стрелкой направление отсчета напряжения называют также положительным направлением.

Наряду с термином «напряжение» употребляются термины «электродвижущая сила» (Э. Д. С.) и «падение напряжения».

Электродвижущая сила есть напряжение между разомкнутыми внешними зажимами устройства или участка цепи. Для Э. Д. С. принято обозначение или .

Падением напряжения на участке цепи называют напряжение, действующее на соответствующем участке при протекании по нему тока.

Расчет электрических цепей постоянного тока. Разветвленная цепь с двумя узлами. Параллельное соединение пассивных элементов, эквивалентное сопротивление резисторов. Электрическая проводимость ветвей. Нелинейные электрические цепи постоянного тока.

59. Схема замещения связанной системы эквивалентной одноконтурной цепью – ДОДЕЛАТЬ111

Условия резонанса для связанной цепи – ДОДЕЛАТЬ111

Под настройкой системы связанных контуров понимается подбор значений параметров контуров, включая и коэффициент связи между контурами, таким образом, чтобы обеспечить получение максимальной мощности или максимального к. п. д. передачи энергии, или нужной полосы пропускания при заданной частоте и ЭДС источника сигнала. Для выяснения условий настройки необходимо исследовать зависимость тока второго контура от настройки каждого контура и величины коэффициента связи. Амплитуды токов в контурах В зависимости от того, параметры какого контура изменяются при настройке, различают несколько способов настройки. Первый частный резонанс. Ток во втором контуре имеет максимум, когда максимален ток в первом контуре, таким образом, настроив первый контур так, чтобы ,получим Таким образом, для получения первого частного резонанса необходимо X11 =var; X12 =const; X22 =const. Очевидно, что I2 max не является наибольшим при данных параметрах контуров и ЭДС источника сигнала. Для достижения наибольшего значения тока во втором контуре необходимо подобрать еще оптимальную связь между контурами. Первый сложный резонанс. При настроенном в резонанс первом контуре оптимальное сопротивление связи можно найти, приравняв к нулю первую производную выражения для второго тока по | X12 |. Отсюда оптимальное сопротивление связи Токи в контурах при этом сопротивлении связи Второй частный резонанс. В этом случае при неизменных параметрах первого контура и неизменной связи настраивается второй контур так, чтобы Таким образом, при настройке на второй частный резонанс X22 =var; X12 =const; X11 =const. Второй сложный резонанс. Если после настройки на второй частный резонанс подобрать оптимальное сопротивление связи, то можно получить Полный резонанс. В этом случае каждый из контуров отдельно настраивается в резонанс на частоту генератора. Для этого при настройке одного контура другой размыкается. Практически вместо размыкания контуров достаточно ослабить связь между контурами настолько, чтобы вносимыми сопротивлениями из одного контура в другой можно было бы пренебречь. После раздельной настройки каждого контура подбирается оптимальная связь. Значения токов в контурах в этом режиме не отличаются от полученных при настройке в сложный резонанс. Сопротивление связи, при котором ток во втором контуре достигает наибольшего возможного значения, получается много меньше, чем при сложном резонансе и составляет единицы Ом. Коэффициент связи, при котором система настроена в полный резонанс, называется оптимальным Так как добротность контуров, используемых в радиотехнике, имеет величину примерно 100 - 300, коэффициенты связи обычно составляют единицы или доли процентов. 60. Основной интерес представляет поведение амплитуд токов в контурах вблизи резонансных частот системы. Для простоты полагаем, что резонансные частоты контуров равны между собой: . Полные сопротивления контуров На частотах близких к резонансной частоте Ток в первом контуре Ток во втором контуре На частотах, близких к резонансной частоте Кроме того, выше было получено Таким образом, подставив последние выражения в формулы для токов, получим уравнения нормированных резонансных кривых первого и второго контуров Для одинаковых контуров, использующихся в полосовых фильтрах приемников, На рис.4.5 приведены АЧХ и ФЧХ второго контура в функции обобщенной расстройки при пяти различных значениях произведения k Q. (k Q характеризует степень связи контуров и называется параметром или фактором связи). а б Рис.4.5 Из графиков амплитудно-частотной характеристики (рис.4.5,а) видно, что при факторе связи k Q < 1 кривые имеют одногорбый характер с максимумом на резонансной частоте (). При k Q = 1 кривая АЧХ является предельной одногорбой кривой, коэффициент связи k кр = 1/ Q называется критическим. При факторе связи k Q > 1 кривые имеют два максимума на частотах ниже и выше резонансной частоты контуров и минимум на резонансной частоте. Частоты максимумов (частоты связи) можно определить из условия равенства нулю производной АЧХ по обобщенной расстойке dn 2/ d Фазо-частотная характеристика (рис.4.5,б), построенная для соответствующих факторов связи, должна быть поднята по оси ординат на /2 при ёмкостной связи и опущена также на  при индуктивной связи. Частотные характеристики первого контура (рис.4.6) изменяются более резко при изменении обобщенной расстройки, чем характеристики второго контура. Это объясняется наличием в выражении для резонансной кривой в числителе множителя, зависящего от величины расстройки (в аналогичном выражении для второго контура числитель от частоты не зависит). а б Рис.4.6Таким образом, образование седловины на АЧХ первого контура получается при меньших факторах связи, чем во втором контуре (рис.6,а). Фазо-частотная характеристика (рис.4.6,б) при факторах связи больше единицы трижды переходит через нуль, что соответствует резонансной частоте ( = 0) и частотам связи. Если два связанных контура имеют одинаковые резонансные частоты, но разные добротности (Q1 > Q2, что характерно для выходных каскадов передатчиков, нагруженных на большое сопротивление нагрузки), то условием образования седловины на кривой тока второго контура является При этом, частоты связи тем больше отличаются от резонансной частоты, чем больше коэффициент связи отличается от критического Критическая связь - Очевидно, имеется граничная связь, превышение которой ведет к двугорбостиамплитудно-частотной резонансной характеристики тока первичного контура.Такая связь называется первичной критической связью, а соответствующий ейкоэффициент связи — первичным критическим коэффициентом связи.Амплитудно-частотную резонансную характеристику вторичного тока строим наосновании полученных характеристик первичного тока и (14). Для того чтобыможно было сравнивать амплитудно-частотные резонансные характеристикипервичного и вторичного токов, их надо строить на одном рисунке поотношению к резонансным значениям Z2, т.е. Согласно Таким образом, для построения амплитудно-частотных характеристиквторичного тока достаточно перемножить координаты кривых I1 (() / I1p иr2 /Z2 (() Указанные построения для связи, меньше критической, выполнены на рис. 5,а, а для связи, больше критической,— на рис. 2. 19, б. Как видно из рис. 5,б, двугорбость кривой первичного тока выражена резче, причем горбыразнесены дальше, чем у кривой вторичного тока. Очевидно, возможна такаясвязь между контурами системы, когда двугорбость первичного тока уженаступит, а вторичного — еще нет. Такая связь, превышение которой ведет кпоявлению двугорбости у резонансной амплитудно-частотной характеристикивторичного тока, называется вторичной критической связью, а соответствующийей коэффициент связи -вторичным критическим коэффициентом связи.

61. лектрическим фильтром называется четырехполюсник, устанавливаемый между источником питания и нагрузкой и служащий для беспрепятственного (с малым затуханием) пропускания токов одних частот и задержки (или пропускания с большим затуханием) токов других частот.

Диапазон частот, пропускаемых фильтром без затухания (с малым затуханием), называется полосой пропускания или полосой прозрачности; диапазон частот, пропускаемых с большим затуханием, называется полосой затухания или полосой задерживания. Качество фильтра считается тем выше, чем ярче выражены его фильтрующие свойства, т.е. чем сильнее возрастает затухание в полосе задерживания.

В качестве пассивных фильтров обычно применяются четырехполюсники на основе катушек индуктивности и конденсаторов. Возможно также применение пассивных RC-фильтров, используемых при больших сопротивлениях нагрузки.

Фильтры применяются как в радиотехнике и технике связи, где имеют место токи достаточно высоких частот, так и в силовой электронике и электротехнике.

Для упрощения анализа будем считать, что фильтры составлены из идеальных катушек индуктивности и конденсаторов, т.е. элементов соответственно с нулевыми активными сопротивлением и проводимостью. Это допущение достаточно корректно при высоких частотах, когда индуктивные сопротивления катушек много больше их активных сопротивлений (), а емкостные проводимости конденсаторов много больше их активных проводимостей ().

Фильтрующие свойства четырехполюсников обусловлены возникающими в них резонансными режимами – резонансами токов и напряжений. Фильтры обычно собираются по симметричной Т- или П-образной схеме, т.е. при или (см. лекцию №14). В этой связи при изучении фильтров будем использовать введенные в предыдущей лекции понятия коэффициентов затухания и фазы.

лассификация фильтров в зависимости от диапазона пропускаемых частот приведена в табл. 1.

Таблица 1. Классификация фильтров

Название фильтра

Диапазон пропускаемых частот

Низкочастотный фильтр (фильтр нижних частот)

Высокочастотный фильтр (фильтр верхних частот)

Полосовой фильтр (полосно-пропускающий фильтр)

Режекторный фильтр (полосно-задерживающий фильтр)

и

,

где

В соответствии с материалом, изложенным в предыдущей лекции, если фильтр имеет нагрузку, сопротивление которой при всех частотах равно характеристическому, то напряжения и соответственно токи на его входе и выходе связаны соотношением

. .

(1)

В идеальном случае в полосе пропускания (прозрачности) , т.е. в соответствии с (1) , и . Следовательно, справедливо и равенство , которое указывает на отсутствие потерь в идеальном фильтре, а значит, идеальный фильтр должен быть реализован на основе идеальных катушек индуктивности и конденсаторов. Вне области пропускания (в полосе затухания) в идеальном случае , т.е. и .

Рассмотрим схему простейшего низкочастотного фильтра, представленную на рис. 1,а.

Связь коэффициентов четырехполюсника с параметрами элементов Т-образной схемы замещения определяется соотношениями (см. лекцию № 14)

или конкретно для фильтра на рис. 1,а

;

(2)

;

(3)

.

(4)

Из уравнений четырехполюсника, записанных с использованием гиперболических функций (см. лекцию № 14), вытекает, что

.

Однако в соответствии с (2) - вещественная переменная, а следовательно,

.

(5)

Поскольку в полосе пропускания частот коэффициент затухания , то на основании (5)

.

Так как пределы изменения : , - то границы полосы пропускания определяются неравенством

,

которому удовлетворяют частоты, лежащие в диапазоне

.

(6)

Для характеристического сопротивления фильтра на основании (3) и (4) имеем

.

(7)

Анализ соотношения (7) показывает, что с ростом частоты w в пределах, определяемых неравенством (6), характеристическое сопротивление фильтра уменьшается до нуля, оставаясь активным. Поскольку, при нагрузке фильтра сопротивлением, равным характеристическому, его входное сопротивление также будет равно , то, вследствие вещественности , можно сделать заключение, что фильтр работает в режиме резонанса, что было отмечено ранее. При частотах, больших , как это следует из (7), характеристическое сопротивление приобретает индуктивный характер.

На рис. 2 приведены качественные зависимости и .

Следует отметить, что вне полосы пропускания . Действительно, поскольку коэффициент А – вещественный, то всегда должно удовлетворяться равенство

.

(8)

Так как вне полосы прозрачности , то соотношение (8) может выполняться только при .

В полосе задерживания коэффициент затухания определяется из уравнения (5) при . Существенным при этом является факт постепенного нарастания , т.е. в полосе затухания фильтр не является идеальным. Аналогичный вывод о неидеальности реального фильтра можно сделать и для полосы прозрачности, поскольку обеспечить практически согласованный режим работы фильтра во всей полосе прозрачности невозможно, а следовательно, в полосе пропускания коэффициент затухания будет отличен от нуля.

Другим вариантом простейшего низкочастотного фильтра может служить четырехполюсник по схеме на рис. 1,б.

Схема простейшего высокочастотного фильтра приведена на рис. 3,а.

Для данного фильтра коэффициенты четырехполюсника определяются выражениями

;

(9)

;

(10)

.

(11)

Как и для рассмотренного выше случая, А – вещественная переменная. Поэтому на основании (9)

.

Данному неравенству удовлетворяет диапазон изменения частот

.

(12)

Характеристическое сопротивление фильтра

,

(13)

изменяясь в пределах от нуля до с ростом частоты, остается вещественным. Это соответствует, как уже отмечалось, работе фильтра, нагруженного характеристическим сопротивлением, в резонансном режиме. Поскольку такое согласование фильтра с нагрузкой во всей полосе пропускания практически невозможно, реально фильтр работает с в ограниченном диапазоне частот.

Вне области пропускания частот определяется из уравнения

(14)

при . Плавное изменение коэффициента затухания в соответствии с (14) показывает, что в полосе задерживания фильтр не является идеальным.

Качественный вид зависимостей и для низкочастотного фильтра представлен на рис. 4.

Следует отметить, что другим примером простейшего высокочастотного фильтра может служить П-образный четырехполюсник на рис. 3,б.

Полосовой фильтр формально получается путем последовательного соединения низкочастотного фильтра с полосой пропускания и высокочастотного с полосой пропускания , причем . Схема простейшего полосового фильтра

приведена на рис. 5,а, а на рис. 5,б представлены качественные зависимости для него.

У режекторного фильтра полоса прозрачности разделена на две части полосой затухания. Схема простейшего режекторного фильтра и качественные зависимости для него приведены на рис.6.

В заключение необходимо отметить, что для улучшения характеристик фильтров всех типов их целесообразно выполнять в виде цепной схемы, представляющей собой каскадно включенные четырехполюсники. При обеспечении согласованного режима работы всех n звеньев схемы коэффициент затухания такого фильтра возрастает в соответствии с выражением , что приближает фильтр к идеальному.

62. Электрические фильтры – Вопрос № 61

Частотные характеристики фильтров.
В общем случае, фильтр меняет в спектре сигнала и амплитуды, и фазы гармоник. Однако фильтры можно проектировать так, чтобы они или не меняли фазу сигнала, или сдвигали все гармоники сигнала по времени на одну и ту же величину (сдвигали во времени весь сигнал). Такие фильтры называют фильтрами с линейной фазой.
Основное свойство фильтра – его амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики (АЧХ и ФЧХ). Они показывают, какое влияние фильтр оказывает на амплитуду и фазу различных гармоник обрабатываемого сигнала. Если фильтр имеет линейную фазу, то рассматривается только АЧХ фильтра. Обычно частотная характеристика изображается в виде графика зависимости амплитуды от частоты (в децибелах). Так, если фильтр пропускает все сигналы в какой-либо полосе частот без изменения (коэффициент передачи равен 1), то это отображается значением 0 дБ. Подавление каких либо частот отображается со знаком минус (в 2 раза => -6 дБ, в 10 раз => -20 дБ, в 100 раз => -40 дБ), а усиление, соответственно, со знаком плюс. Пример частотной характеристики фильтра приведен на рисунке.

В зависимости от общего вида частотной характеристики можно выделяют следующие распространенные типы фильтров: НЧ-фильтры (low-pass filters), ВЧ-фильтры (high-pass filters), полосовые фильтры, которые пропускают (band-pass filters) или подавляют (band-reject filters) сигнал только в определенной частотной полосе. Существуют и другие типы фильтров с более сложными частотными характеристиками.
Обычно в задачах фильтрации сигнала задается требуемая частотная характеристика фильтра. Построить в точности заданный фильтр обычно бывает не так просто. Тогда строится фильтр, близкий по характеристикам к заданному.
Например, невозможно построить идеальный фильтр низких частот, который пропускает без изменения все сигналы ниже определенной частоты (в полосе пропускания, pass band) и полностью подавляет все сигналы выше этой частоты (в полосе подавления, stop band). Такой фильтр реализуется оператором бесконечно большого размера. Реальные фильтры низких частот обладают плавным переходом от полосы пропускания (0 дБ с максимально возможными отклонениями обычно не более ±0.5 дБ) к полосе подавления, где сигнал подавляется, как правило, более чем в 100-1000 раз. Крутизна спада и значения подавления после спада определяются конкретными требованиями к фильтру.
В пределе, частотная характеристика фильтра может задаваться произвольной кривой. Например, фильтр может иметь несколько частотных полос пропускания с разными коэффициентами усиления, разделенных полосами с разными коэффициентами подавления.

Рабочее затухание фильтров – ДОДЕЛАТЬ111

Поскольку, при нагрузке фильтра сопротивлением, равным характеристическому, его входное сопротивление также будет равно , то, вследствие вещественности , можно сделать заключение, что фильтр работает в режиме резонанса, что было отмечено ранее. При частотах, больших , как это следует из (7), характеристическое сопротивление приобретает индуктивный характер.

На рис. 2 приведены качественные зависимости и .

Следует отметить, что вне полосы пропускания . Действительно, поскольку коэффициент А – вещественный, то всегда должно удовлетворяться равенство

.

(8)

Так как вне полосы прозрачности , то соотношение (8) может выполняться только при .

В полосе задерживания коэффициент затухания определяется из уравнения (5) при . Существенным при этом является факт постепенного нарастания , т.е. в полосе затухания фильтр не является идеальным. Аналогичный вывод о неидеальности реального фильтра можно сделать и для полосы прозрачности, поскольку обеспечить практически согласованный режим работы фильтра во всей полосе прозрачности невозможно, а следовательно, в полосе пропускания коэффициент затухания будет отличен от нуля.

Применение фильтров в технике измерений чрезвычайно разно­образно. На переднем плане стоят простейшие задачи сокращения помех от промышленных сетей и высокочастотных шумов, что равносильно улучшению отношения полезного сигнала к сигналу помех. Под настройкой сигнала понимаются также отфильтровы-вание (выделение) или же подавление некоторых частотных со­ставляющих сигнала до аналого-цифрового преобразования (сужение полосы частот для предотвращения погрешности от эффекта наложения). При анализе сигналов фильтры могут быть применены для измерений искажений, формирования средних экспоненциальных значений и для подавления, усиления или отделения некоторых частотных составляющих или полос частот.

Существуют следующие понятия средних значений несинусоидальных токов, ЭДС и напряжений.

Среднее значение несинусоидального тока за период, которое равно его постоянной составляющей,

	T	T
I cp =	∫	i (t) dt = I 0.

Среднее значение по модулю несинусоидального тока за период

	T	T
I cp.мод =	∫	| i (t)| dt.

Таким же образом может быть осуществлена запись средних значений несинусоидальных ЭДС, напряжений.

Средние значения несинусоидальных напряжений и токов измеряются магнитоэлектрическими приборами без выпрямителя, средние значения по модулю — магнитоэлектрическими приборами с выпрямителем.

5.3.4.Коэффициенты, характеризующие несинусоидальные величины. Формы периодических несинусоидальных кривых могут характеризовать следующие коэффициенты (в скобках приведены значения коэффициентов для синусоидальных токов).

1. Коэффициент амплитуды k _а = I _m /I (k _а = 1,41).

2. Коэффициент формы k _ф = I/I _cp.мод(k _ф = 1,11).

3. Коэффициент гармоник k _г = √ I ₂² + I ₃² +.../ I ₁ (k _г = 0).

4. Коэффициент среднего значения k _ср = I _cp /I _m (k _cp = 0).

5. Коэффициент искажения k _и = I ₁ / √ I ₀² + I ₁² + I ₂² +... (k _и = 1).

6. Коэффициент пульсаций k _п = I _{1 m}/I ₀(см. § 5.7).

Коэффициенты k _а, k _ф характеризуют форму периодических кривых, т. е. их отличие от синусоиды, и используются в силовой электротехнике, радиотехнике и т. д. Коэффициенты k _г и k _и являются показателями качества электрической энергии энергосистем. В энергетической электронике при оценке результатов преобразования переменного синусоидального тока в постоянный используются коэффициенты k _ср и k _п.

Несинусоидальные токи в цепях возникают при синусои­дальных ЭДС и напряжениях источников электрической энер­гии, если цепи содержат нелинейные элементы. Так, в катушке с ферромагнитным магнитопроводом, которая является нели­нейным элементом, при синусоидальном напряжении сети ток несинусоидальный. Подобное явление наблюдается в промыш­ленных городских сетях, когда в качестве осветительных при­боров используются люминесцентные лампы, имеющие нели­нейные вольт- амперные характеристики.

Нелинейные элементы широко используются в электриче­ских цепях автоматики, управления, релейной защиты и т. д. Эти нелинейные элементы (стабилизаторы напряжения, умно­жители и делители частоты, магнитные усилители и т. п.) при­водят к искажению формы кривых напряжения или тока.

Известно, что постоянный ток в энергетической электронике получают преобразованием переменного синусоидального тока с помощью выпрямителей, в которых используются нелинейные элементы — диоды. Естественно, что в таких электрических цепях возникают как несинусоидальные токи, так и несинусоидальные напряжения. В настоящее время широкое распространение получила им­пульсная техника, т. е. отрасль радиоэлектроники, в которой для решения определенных задач используют импульсные устройства. Формы импульсов на­пряжений в импульсной технике весьма разнообразны.

Сложение синусоид, имеющих разные частоты – ДОДЕЛАТЬ111

Дата добавления: 2015-07-15