II закон Кирхгофа.

Применительно к контуру цепи для мгновенных значений ЭДС и напряжений второй закон имеет вид .

В случае синусоидальных величин, когда и , закон можно представить в виде вращающихся изображающих векторов

.

Отсюда .

Здесь ; ; – комплексы амплитуд ЭДС, напряжений и токов k-й ветви контура.

Принимая во внимание связь между амплитудными и действующими значениями, выражение закона можно записать в виде:

.

Если в какой-либо k-й ветви имеются последовательно соединенные элементы R_k, L_k, C_k, то

.

Тогда для этой ветви получим

.

Как и в случае цепей постоянного тока, перед составлением уравнений по II закону Кирхгофа необходимо задавать положительные направления ЭДС, токов и напряжений во всех ветвях цепи, обозначив эти направления стрелками.

Можно показать, что все методы расчета цепей постоянного тока применимы и для расчета цепей синусоидального тока, если использовать при этом символическое изображение функций.

Следует четко представлять, что при расчете цепей синусоидального тока реальные направления величин периодически изменяются. Поэтому произвол в выборе положительных направлений отражается на их фазах: изменение выбранного положительного направления на противоположное меняет фазу на 180°, что соответствует изменению направления изображающего вектора на обратное.

49. Важнейшей характеристикой линейной электрической цепи является комплексная передаточная функция H (j ). При этом электрическую цепь удобно изображать в виде четырехполюсника (рис. 4.1), на входные зажимы (1 – 1') которого подается сигнал в виде напряжения с комплексной амплитудой U _m 1, или тока с комплексной амплитудой I _m 1, а реакция снимается с выходных зажимов (2 – 2') также в виде напряжения или тока с комплексными амплитудами U _m2, I _m2 >. Комплексная передаточная функция (КПФ) определяется как отношение комплексной амплитуды реакции цепи к комплексной амплитуде входного воздействия.

В зависимости от типов входного воздействия и реакции цепи различают следующие виды КПФ:

1. Комплексная передаточная функция по напряжению

, (4.1)

где U _m 1, U _m2, U ₁, U ₂ – комплексные амплитуды и комплексные действующие значения напряжения воздействияна входе и напряжения реакции на выходе.

2. Комплексная передаточная функция по току

, (4.2)

где I _m1, I _m2, I ₁, I ₂ — комплексные амплитуды и действующие значения тока воздействия и тока реакции.

3. Комплексное передаточное сопротивление

. (4.3)

4. Комплексная передаточная проводимость

(4.4)

Из данных определений следует, что H_u (j ) и H_i (j ) являются безразмерными величинами, a H_Z (j ) и H_Y (j ) – имеют соответственно размерности сопротивления и проводимости.

Комплексные передаточные функции определяются на частоте

Рис. 4.1

Рис. 4.2

сигнала воздействия и зависят только от параметров цепи.

Как всякую комплексную величину H (j ) можно представить в показательной, тригонометрической и алгебраической форме:

; (4.5)

; (4.6)

, (4.7)

где – модуль комплексной передаточной функции называется амплитудно-частотной характеристикой цепи (АЧХ), а – аргумент комплексной передаточной функции называют фазо-частотной характеристикой цепи (ФЧХ).Величины

(4.8)

есть вещественная и мнимая части комплексной передаточной функции цепи.

Из (4.5)–(4.8) нетрудно получить соотношения, связывающие АЧХ и ФЧХ с вещественными и мнимыми частями комплексной передаточной функции и

; (4.9)

. (4.10)

АЧХ и ФЧХ являются наиболее фундаментальными понятиями теории цепей и широко используются на практике. Важность этих характеристик для систем электрической связи, радиовещания и телевидения объясняется самой природой передачи сигналов определенного спектрального состава по каналам связи. Требования к АЧХ и ФЧХ различных устройств являются определяющими при проектировании любой аппаратуры связи, так как от степени их выполнения во многом зависит качество передачи информации.

Если на вход объекта подавать периодический сигнал заданной амплитуды и частоты, то на выходе будет также периодический сигнал той же частоты, но в общем случае другой амплитуды со сдвигом по фазе. Взаимосвязь между параметрами периодических сигналов на входе и выходе объекта определяют частотные характеристики. Чаще всего их используют для описания одноканальных систем:

, n >= m.

(2.40)

Формально обобщенная частотная характеристика может быть получена из передаточной функции заменой p на

(2.41)

и представлена в виде

.

(2.42)

Составляющие обобщенной частотной характеристики имеют самостоятельное значение и следующие названия:

· вещественная частотная характеристика (ВЧХ),

· мнимая частотная характеристика (МЧХ),

· амплитудная частотная характеристика (АЧХ),

· фазовая частотная характеристика (ФЧХ).

Частотная характеристика по выражению (2.42) может быть построена на комплексной плоскости. В этом случае конец вектора, соответствующий комплексному числу , при изменении от 0 до прочерчивает на комплексной плоскости кривую, которая называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ).

Рис.2.6. Пример амплитудно-фазовой характеристики системы

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) - графическое отображение зависимости сдвига по фазе между входным и выходным сигналами в зависимости от частоты,

Для определения числитель и знаменатель W(j ) разлагаются на множители не выше второго порядка

,

тогда , где знак "+" относится к i=1,2,...,l (числителю передаточной фунции), знак "-" -к i=l+1,...,L (знаменателя передаточной функции).

Каждое из слагаемых определяется выражением

где .

Наряду с АФХ отдельно строят и все остальные частотные характеристики. Так АЧХ показывает, как пропускает звено сигнал различной частоты; причем оценкой пропускания является отношение амплитуд выходного и входного сигнала. ФЧХ показывает фазовые сдвиги, вносимые системой на различных частотах.

Помимо рассмотренных частотных характеристик в теории автоматического управления используются логарифмические частотные характеристики. Удобство работы с ними объясняется тем, что операции умножения и деления заменяются на операции сложения и вычитания. Построенная в логарифмическом масштабе АЧХ, называется логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ)

,

(2.43)

Эта величина выражается в децибелах (дб). При изображении ЛАЧХ удобнее по оси абсцисс откладывать частоту в логарифмическом масштабе, то есть , выраженную в декадах (дек).

Рис.2.7. Пример логарифмической амплитудной частотной характеристики

В логарифмическом масштабе может быть изображена также и ФЧХ:

Рис.2.8. Пример логарифмической фазовой частотной характеристики

Годограф кривая, представляющая собой геометрическое место концов переменного (изменяющегося со временем) вектора, значения которого в разные моменты времени отложены от общего начала О

Понятие годографа было введено английским учёным У. Гамильтоном.

Годограф даёт наглядное геометрическое представление о том, как изменяется со временем физическая величина, изображаемая переменным вектором, и о скорости этого изменения, имеющей направление касательной к годографу. Например, скорость точки является величиной, изображаемой переменным вектором v. Отложив значения, которые имеет вектор v в разные моменты времени, от начала О, получим годограф скорости; при этом величина, характеризующая быстроту изменения скорости в точке М, то есть ускорение (в этой точке), имеет для любого момента времени направление касательной к годографу скорости в соответствующей его точке М’.

Пассивные двухполюсники и четырехполюсники включают набор резистивных и реактивных (индуктивных и емкостных) элементов, в которых протекают электрические токи под действием какого-либо одного внешнего источника энергии. Для описания физических явлений в таких цепях при воздействии на входных зажимах источника гармонических колебаний с фиксированной частотой =const используют метод комплексных амплитуд, который в свою очередь основывается на введении понятий комплексных сопротивлений или проводимостей отдельных элементов цепи - r, , , а также комплексных амплитуд токов и напряжений – , [1].

В общем случае у источника гармонических колебаний может изменяться не только амплитуда и начальная фаза, но и угловая частота - . Тогда комплексная характеристика источника (входного воздействия) записывается в виде функции мнимой комплексной переменной - ( ). Эту характеристику обычно записывают в показательной (полярной) форме и называют комплексной спектральной плотностью. Модуль этой характеристики называют спектральной плотностью, а аргумент - фазовой плотностью или фазочастотной характеристикой. Так для напряжения имеем:

где - спектральная плотность напряжения, - фазовая плотность напряжения.

Аналогично гармонический ток с переменной угловой частотой ω характеризуется своей комплексной спектральной плотностью:

В зависимости от вида входного воздействия (электрического сигнала) спектральные плотности могут иметь непрерывный или дискретный характер. В дальнейшем для краткости будем опускать написание зависимости от угловой частоты, полагая , , , .

В реальном двухполюснике или четырехполюснике комплексные плотности токов и напряжений связаны между собой соотношениями, зависящими как от внутренних свойств элементов цепи, так и от способа соединения ветвей. Подобного рода соотношения называются частотными характеристиками.

На рис.1.1а изображен двухполюсник, имеющий два входных зажима, к которым подсоединяется источник входного сигнала. Если к цепи присоединяется источник тока J (t), то входной ток i (t) = J (t), т.е. будет независимой функцией времени, а напряжение u (t) на входе определится через свойства цепи как зависимая функция. При гармоническом характере входного сигнала определяют отношение комплексов напряжения и тока.

(1.1)

Такое отношение называют комплексным входным сопротивлением

двухполюсника:

Из определения (1.1) следует, что Z (j ω) в свою очередь включает две характеристики: - амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) и - фазочастотную характеристику (ФЧХ) функции входного сопротивления.

а) б)

Рис. 1.1. Обобщенная комплексная схема замещения цепи:

а) двухполюсника; б) четырехполюсника

Если к цепи присоединяется источник напряжения e (t), то напряжение на двухполюснике u (t) = e (t), т.е. будет независимой функцией времени, a ток i (t) определится через свойства цепи как зависимая функция. При гармоническом характере входного сигнала определяют отношение тока к напряжению, которое называют комплексной входной проводимостью двухполюсника:

где Y (ω) и φ(ω) называют соответственно АЧХ и ФЧХ функции входной проводимости.

Функции Z (j ω) и Y (j ω) являются взаимно обратными функциями. В определении этих функций входят токи и напряжения, что дает возможность находить эти характеристики опытным путем, используя вольтметр, амперметр и прибор, измеряющий фазу гармонического колебания. Однако сами функции в силу линейности рассматриваемых цепей не зависят от величин токов и напряжений и могут быть определены непосредственно по структуре (топологии) цепи с учетом характера элементной базы ветвей. Для нахождения этих характеристик могут быть использованы все известные методы расчета цепей постоянного тока: законы Кирхгофа, простейшие преобразования, упрощающие схему и т.п. [1]. Исследование этих характеристик позволяет предсказать поведение цепи при различного рода воздействиях, о чем будет сказано далее.

Пример 1.1. Найти АЧХ и ФЧХ для функции входного сопротивления двухполюсника, образованного параллельным соединением резистивного и индуктивного элемента (рис.1.2а). Питание цепи осуществляется от источника синусоидального тока с любой частотой.

а) б)

Рис. 1.2. Схема для исследования входного сопротивления двухполюсника:

а) исходная схема; б) комплексная схема замещения

Решение задачи начинаем с построения комплексной схемы замещения исходной цепи (рис. 1.2б), на входе которой действует комплексный спектр источника тока I (j ω) = J (j ω), в результате чего на двухполюснике будет иметь место комплексный спектр напряжения U (j ω). Отношение их, определяемое выражением (1.1), может быть найдено непосредственно по структуре цепи путем объединения комплексных сопротивлений параллельно соединенных ветвей:

Сравнивая модули и аргументы, запишем АЧХ и ФЧХ

- АЧХ функции входного сопротивленияисследуемого выражения

φ(ω) = - ФЧХ функции входного сопротивления.

При построении графиков целесообразно перейти к относительной переменной Ω = ω L / r, которая указывает во сколько раз сопротивление индуктивности на данной частоте больше резистивного сопротивления. Для

этой переменной полученные выше выражения перепишутся в виде

Графики найденных функций представлены на рис.1.3а и рис.1.3б в относительных масштабных единицах.

а) б)

Рис. 1.3. Частотные характеристики функции входного сопротивления: а)АЧХ; б)ФЧХ

Расчетные значения сведены в таблице 1.

Таблица 1

		, Ом	, градусы	, градусы
	1.0
0.5	1.12	0.447 r	26.5	63.5
1.0	1.41	0.707 r	45.0	45.0
1.5	1.80	0.832 r	56.3	33.7
2.0	2.23	0.894 r	63.4	26.6
2.5	2.69	0.928 r	68.2	21.8
		r

Для перехода к реальной частоте необходимо знать численные значения параметров цепи r и L. Тогда переход осуществляется по формуле ω = r / L Ω (рад/с), если L измеряется в генри, а r в омах.

Из рассмотренного примера следует, что для нахождения аналитического выражения Z (j ω) или Y (j ω) как функции частоты следует задать входное напряжение U (или входной ток I) и найти входной ток I (или входное напряжение U), затем воспользоваться одним из выражений Z = U / I или Y = I / U.

Если известна структура и характер элементов цепи, то искомое выражение можно найти непосредственно, как это было сделано в примере 1.1. Полученное выражение обычно приводят к виду

где и полиномы, зависящие от переменной . После преобразований с комплексными слагаемыми всегда есть возможность записать исследуемую функцию в полярной (показательной) форме, выделяя зависимости АЧХ и ФЧХ.

В простейших неразветвленных rL и rС цепях иногда используют понятие граничной частоты . Граничной называется частота, при которой r = X, т.е. = r / L, или = 1/ rС. Как следует из приведенного выше примера 1.1, на граничной частоте Z (ω) = 0.707 r, а φ(ω) = 45˚.

50. Колебательный контур — осциллятор, представляющий собой электрическую цепь, содержащую соединённые катушку индуктивности и конденсатор. В такой цепи могут возбуждаться колебания тока (и напряжения).

Колебательный контур — простейшая система, в которой могут происходить свободные электромагнитные колебания

Свободные колебания в идеальном контуре – ДОДЕЛАТЬ111

Период, частота и длина волны свободных колебаний – ДОДЕЛАТЬ111

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ КОНТУРА - отношение амплитуды напряжения на конденсаторе или равной ей амплитуды э.д.с. самоиндукции на катушке к амплитуде тока в колебательном контуре при последовательном резонансе. Также называют волновым сопротивлением контура.

Свободные колебания в реальном контуре – ДОДЕЛАТЬ111

ЗАТУХАНИЕ КОЛЕБАНИЙ - уменьшение амплитуды колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебат. системой. Потери энергии колебаний вызываются в механич. системах превращением её в теплоту вследствие трения и излучениемупругих волн в окружающую среду, в электрических системах - омич. потерями в них и излучением эл--магн. волн в окружающее пространство. Закон 3. к. определяется свойствами системы. В линейных системах 3. к. происходит по экспоненте:

Х_к = Х₀ехр(-a t) (рис.), где t - время, a - показатель затухания системы. Для простейшей механич. системы -тела массы т, удерживаемого в положении равновесия упругой силой и испытывающего трение, пропорциональное скорости (с коэф. пропорциональности b), a=b/2m; для простейшей электрич. системы - колебательного контура с индуктивностью L и сопротивлением R a =R/2L. 3. к. практически можно считать закончившимся, если амплитуда колебаний уменьшилась до ~ 1% нач. величины. Время t, в течение к-рого это произойдёт, определяется из условия е ^-at = 0,01 или at=4,6, то есть t=4,6/a. К затухающим колебаниям, строго говоря, неприменимо понятие периода или частоты. Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода T₁ как промежутка времени между двумя последующими максимумами колеблющейся величины (тока, напряжения, размаха колебаний маятника и т. д.). "Период" Т₁ увеличивается по мере увеличения потерь энергии в системе. Для приведённых выше простейших случаев соответствующая этому условному "периоду" частота затухающих колебаний где w₀ - угловая частота собств. колебаний в отсутствии потерь энергии в системе. Скорость 3. к. часто характеризуют декрементом затухания d=aT₁, определяющим уменьшение амплитуды за один "период" колебаний, или величиной d=d/p, наз. просто затуханием. Скорость 3. к. связана с добротностью колебат. системы Q; в рассмотренных простейших случаях d=l/Q. В нелинейных системах отношение потерь энергии за период к полной энергии колебаний не остаётся постоянным, а изменяется с изменением амплитуды колебаний. Поэтому закон 3. к. оказывается не экспоненциальным. Простейший с точки зрения закона 3. к. случай - это нелинейная механич. система, в к-рой величина силы трения постоянна (не зависит от величины скорости), а направление силы трения противоположно скорости (т. н. сухое трение). Такая сила трения возникает в системах, движение к-рых связано со скольжением, напр., при колебаниях крутильного маятника с осью, установленной в подшипниках скольжения. В этом случае амплитуды колебаний убывают по закону арифметич. прогрессии.

ДОБРОТНОСТЬ КОНТУРА – характеризует качество колебательного контура, обозначается Q. Численно равна отношению напряжения на любом из реактивных участков на резонансе к напряжению, подводимому к контуру, или отношению реактивного сопротивления к активному. При большой добротности контура напряжение на нем значительно превышает напряжение на входе контура.

51. Последовательный колебательный контур является простейшей резонансной (колебательной) цепью. Состоит последовательный колебательный контур, из последовательно включенных катушки индуктивности и конденсатора. При воздействии на такую цепь переменного (гармонического) напряжения, через катушку и конденсатор будет протекать переменный ток, величина которого вычисляется по закону Ома: I = U / Х_Σ, где Х_Σ - сумма реактивных сопротивлений последовательно включенных катушки и конденсатора (используется модуль суммы).
Для освежения памяти, вспомним как зависят реактивные сопротивления конденсатора и катушки индуктивности от частоты приложенного переменного напряжения. Для катушки индуктивности, эта зависимость будет иметь вид:

Из формулы видно, что при увеличении частоты, реактивное сопротивление катушки индуктивности увеличивается. Для конденсатора зависимость его реактивного сопротивления от частоты будет выглядеть следующим образом:

В отличии от индуктивности, у конденсатора всё происходит наоборот - при увеличении частоты, реактивное сопротивление уменьшается. На следующем рисунке графически представлены зависимости реактивных сопротивлений катушки X_L и конденсатора Х_C от циклической (круговой) частоты ω, а также график зависимости от частоты ω их алгебраической суммы Х_Σ. График, по сути, показывает зависимость от частоты общего реактивного сопротивления последовательного колебательного контура.
Из графика видно, что на некоторой частоте ω=ω_р, на которой реактивные сопротивления катушки и конденсатора равны по модулю (равны по значению, но противоположны по знаку), общее сопротивление цепи обращается в ноль. На этой частоте в цепи наблюдается максимум тока, который ограничен только омическими потерями в катушке индуктивности (т.е. активным сопротивлением провода обмотки катушки) и внутренним сопротивлением источника тока (генератора). Такую частоту, при которой наблюдается рассмотренное явление, называемое в физике резонансом, называют резонансной частотой или собственной частотой колебаний цепи. Также из графика видно, что на частотах, ниже частоты резонанса реактивное сопротивление последовательного колебательного контура носит емкостной характер, а на более высоких частотах - индуктивный. Что касается самой резонансной частоты, то она может быть вычислена при помощи формулы Томсона, которую мы можем вывести из формул реактивных сопротивлений катушки индуктивности и конденсатора, приравняв их реактивные сопротивления друг к другу:

На рисунке справа, изображена эквивалентная схема последовательного резонансного контура с учетом омических потерь R, подключенного к идеальному генератору гармонического напряжения с амплитудой U. Полное сопротивление (импеданс) такой цепи определяется: Z = √(R²+X_Σ²), где X_Σ = ω L-1/ωC. На резонансной частоте, когда величины реактивных сопротивлений катушки X_L = ωL и конденсатора Х_С= 1/ωС равны по модулю, величина X_Σ обращается в нуль (следовательно, сопротивление цепи чисто активное), а ток в цепи определятся отношением амплитуды напряжения генератора к сопротивлению омических потерь: I= U/R. При этом на катушке и на конденсаторе, в которых запасена реактивная электрическая энергия, падает одинаковое напряжение U_L = U_С = IX_L = IX_С.
На любой другой частоте, отличной от резонансной, напряжения на катушке и конденсаторе неодинаковы - они определяются амплитудой тока в цепи и величинами модулей реактивных сопротивлений X_L и X_С. Поэтому резонанс в последовательном колебательном контуре принято называть резонансом напряжений. Резонансной частотой контура называют такую частоту, на которой сопротивление контура имеет чисто активный (резистивный) характер. Условие резонанса - это равенство величин реактивных сопротивлений катушки индуктивности и ёмкости.

Одними из наиболее важных параметров колебательного контура (кроме, разумеется, резонансной частоты) являются его характеристическое (или волновое) сопротивление ρ и добротность контура Q. Характеристическим (волновым) сопротивлением контура ρ называется величина реактивного сопротивления емкости и индуктивности контура на резонансной частоте: ρ = Х_L = Х_C при ω =ω_р. Характеристическое сопротивление может быть вычислено следующим образом: ρ = √(L/C). Характеристическое сопротивление ρ является количественной мерой оценки энергии, запасенной реактивными элементами контура - катушкой (энергия магнитного поля) W_L = (LI²)/2 и конденсатором (энергия электрического поля) W_C=(CU²)/2. Отношение энергии, запасенной реактивными элементами контура, к энергии омических (резистивных) потерь за период принято называть добротностью Q контура, что в буквальном переводе с английского языка обозначает "качество". Добротность колебательного контура - характеристика, определяющая амплитуду и ширину АЧХ резонанса и показывающая, во сколько раз запасы энергии в контуре больше, чем потери энергии за один период колебаний. Добротность учитывает наличие активного сопротивления нагрузки R.
Для последовательного колебательного контура в RLC цепях, в котором все три элемента включены последовательно, добротность вычисляется:

где R, L и C — сопротивление, индуктивность и ёмкость резонансной цепи, соответственно. Величину, обратную добротности d = 1 / Q называют затуханием контура. Для определения добротности обычно пользуются формулой Q = ρ / R, где R -сопротивление омических потерь контура, характеризующее мощность резистивных (активных потерь) контура Р = I²R. Добротность реальных колебательных контуров, выполненных на дискретных катушках индуктивности и конденсаторах, составляет от нескольких единиц до сотни и более. Добротность различных колебательных систем, построенных на принципе пьезоэлектрических и других эффектов (например, кварцевые резонаторы) может достигать нескольких тысяч и более.

Частотные свойства различных цепей в технике принято оценивать с помощью амплитудно-частотных характеристик (АЧХ), при этом сами цепи рассматривают как четырёхполюсники. На рисунках ниже представлены два простейших четырехполюсника, содержащих последовательный колебательный контур и АЧХ этих цепей, которые приведены (показаны сплошными линями). По вертикальной оси графиков АЧХ отложена величина коэффициента передачи цепи по напряжению К, показывающая отношение выходного напряжения цепи к входному.

Для пассивных цепей (т.е. не содержащих усилительных элементов и источников энергии), величина К никогда не превышает единицу. Сопротивление переменному току изображённой на рисунке цепи, будет минимально при частоте воздействия, равной резонансной частоте контура. В этом случае коэффициент передачи цепи близок к единице (определяется омическими потерями в контуре). На частотах, сильно отличающихся от резонансной, сопротивление контура переменному току достаточно велико, а следовательно, и коэффициент передачи цепи будет падать практически до нуля.

При резонансе в этой цепи, источник входного сигнала оказывается фактически замкнутым накоротко малым сопротивлением контура, благодаря чему коэффициент передачи такой цепи на резонансной частоте падает практически до нуля (опять-таки в силу наличия конечного сопротивления потерь). Наоборот, при частотах входного воздействия, значительно отстоящих от резонансной, коэффициент передачи цепи оказывается близким к единице. Свойство колебательного контура в значительной степени изменять коэффициент передачи на частотах, близких к резонансной, широко используется на практике, когда требуется выделить сигнал с конкретной частотой из множества ненужных сигналов, расположенных на других частотах. Так, в любом радиоприемнике при помощи колебательных цепей обеспечивается настройка на частоту нужной радиостанции. Свойство колебательного контура выделять из множества частот одну принято называть селективностью или избирательностью. При этом интенсивность изменения коэффициента передачи цепи при отстройке частоты воздействия от резонанса принято оценивать при помощи параметра, называемого полосой пропускания. За полосу пропускания принимается диапазон частот, в пределах которого уменьшение (или увеличение - в зависимости от вида цепи) коэффициента передачи относительно его значения на резонансной частоте, не превышает величины 0,7 (3дБ).

Пунктирными линиями на графиках показаны АЧХ точно таких же цепей, колебательные контуры которых имеют такие же резонансные частоты, как и для случая рассмотренного выше, но обладающие меньшей добротностью (например, катушка индуктивности намотана проводом, обладающим большим сопротивлением постоянному току). Как видно из рисунков, при этом расширяется полоса пропускания цепи и ухудшаются ее селективные (избирательные) свойства. Исходя из этого, при расчете и конструировании колебательных контуров нужно стремиться к повышению их добротности. Однако, в ряде случаев, добротность контура, наоборот, приходится занижать (например, включая последовательно с катушкой индуктивности резистор небольшой величины сопротивления), что позволяет избежать искажений широкополосных сигналов. Хотя, если на практике требуется выделить достаточно широкополосный сигнал, селективные цепи, как правило, строятся не на одиночных колебательных контурах, а на более сложных связанных (многоконтурных) колебательных системах, в т.ч. многозвенных фильтрах.

Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних сил, меняющихся во времени.

Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.

Наиболее простой и содержательный пример вынужденных колебаний можно получить из рассмотрения гармонического осциллятора и вынуждающей силы, которая изменяется по закону: .

Полное сопротивление контура, его составляющие и зависимость их от частоты – ДОДЕЛАТЬ111

Резонанс напряжений - резонанс, происходящий в последовательном колебательном контуре при его подключении к источнику напряжения, частота которого совпадает ссобственной частотой контура. Пусть имеется колебательный контур с частотой собственных колебаний f, и пусть внутри него работает генератор переменного тока такой же частоты f.

В начальный момент конденсатор контура разряжен, генератор не работает. После включения напряжение на генераторе начинает возрастать, заряжая конденсатор. Катушка в первое мгновение не пропускает ток из-за ЭДС самоиндукции. Напряжение на генераторе достигает максимума, заряжая до такого же напряжения конденсатор.

Далее: конденсатор начинает разряжаться на катушку. Напряжение на нем падает с такой же скоростью, с какой уменьшается напряжение на генераторе.

Далее: конденсатор разряжен до нуля, вся энергия электрического поля, имевшаяся в конденсаторе, перешла в энергию магнитного поля катушки. На клеммах генератора в этот момент напряжение нулевое.

Далее: так как магнитное поле не может существовать стационарно, оно начинает уменьшаться, пересекая витки катушки в обратном направлении. На выводах катушки появляется ЭДС индукции, которое начинает перезаряжать конденсатор. В цепи колебательного контура течет ток, только уже противоположно току заряда, так как витки пересекаются полем в обратном направлении. Обкладки конденсатора перезаряжаются зарядами, противоположными первоначальным. Одновременно растет напряжение на генераторе противоположного знака, причем с той же скоростью, с какой катушка заряжает конденсатор.)

Далее: катушка перезарядила конденсатор до максимального напряжения. Напряжение на генераторе к этому моменту тоже достигло максимального.

Возникла следующая ситуация. Конденсатор и генератор соединены последовательно и на обоих напряжение, равное напряжению генератора. При последовательном соединении источников питания их напряжения складываются.

Следовательно, в следующем полупериоде на катушку пойдет удвоенное напряжение (и от генератора, и от конденсатора), и колебания в контуре будут происходить при удвоенном напряжении на катушке.

В контурах с низкой добротностью напряжение на катушке будет ниже удвоенного, так как часть энергии будет рассеиваться (на излучение, на нагрев) и энергия конденсатора не перейдет полностью в энергию катушки). Соединены как бы последовательно генератор и часть конденсатора.

Признаки резонанса – ДОДЕЛАТЬ111

Резонанс (фр. resonance, от лат. resono - откликаюсь) - явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при совпадении частоты внешнего воздействия с некоторыми значениями (резонансными частотами), определяемыми свойствами системы.

F=1/(2π×√L×C), где

F - Резонансная частота, Гц)

L - Индуктивность, (Гн)

C - Ёмкость, (Ф)

Векторная диаграмма — графическое изображение меняющихся по закону синуса (косинуса) величин и соотношений между ними при помощи направленных отрезков — векторов. Векторные диаграммы широко применяются в электротехнике, акустике, оптике, теории колебаний и так далее.

Гармоническое (то есть синусоидальное) колебание может быть представлено графически в виде проекции на некоторую ось (обычно берут ось координат Оx) вектора, вращающегося с постоянной угловой скоростью ω. Длина вектора соответствует амплитуде, угол поворота относительно оси (Ox) - фазе.

Сумма (или разность) двух и более колебаний на векторной диаграмме представлена при этом (геометрической) суммой (или разностью) векторов этих колебаний. Мгновенное значение искомой величины определяется при этом проекцией вектора суммы на ось Оx, амплитуда - длиной этого вектора, а фаза - углом его поворота относительно Ox.

Векторные диаграммы можно считать вариантом (и иллюстрацией) представления колебаний в виде комплексных чисел. При таком сопоставлении ось Ox соответствует оси действительных чисел, а ось Oy - оси чисто мнимых чисел (положительный единичный вектор вдоль которой есть мнимая единица).

Тогда вектор длиной A, вращающийся в комплексной плоскости с постоянной угловой скоростью ω с начальным углом φ₀ запишется как комплексное число

а его действительная часть

-есть гармоническое колебание с циклической частотой ω и начальной фазой φ₀.

Хотя, как видно уже из вышесказанного, векторные диаграммы и комплексное представление колебаний теснейшим образом связаны и по сути представляют собой варианты или разные стороны одного и того же метода, они, тем не менее, обладают своими особенностями и могут применяться и по отдельности.

· Метод векторных диаграмм может излагаться отдельно в курсах электротехники или элементарной физики, если по тем или иным причинам (обычно связанным с умеренным уровнем математической подготовки учащихся и недостатком времени) надо избежать использования комплексных чисел (в явном виде) вообще.

· Метод комплексного представления (который при необходимости или желании может включать и графическое представление, что, правда, совершенно не обязательно и иногда излишне) вообще говоря более мощен, т.к. естественно включает в себя, например, составление и решение систем уравнений любой сложности, в то время как метод векторных диаграмм в чистом виде всё же ограничен задачами, подразумевающим суммирование, которое можно изобразить на одном чертеже.

· Однако метод векторных диаграмм (в чистом виде или в качестве графической составляющей метода комплексного представления) - более нагляден, а значит в некоторых случаях потенциально более надежен (позволяет до некоторой степени избежать грубых случайных ошибок, которые могут встречаться при абстрактных алгебраических вычислениях) и позволяет в некоторых случаях достичь в каком-то смысле более глубокого понимания задачи.

52. Последовательный колебательный контур- Вопрос № 51

Коэффициентом мощности или cos φ электрической сети называется отношение активной мощности к полной мощности нагрузки расчетного участка.

cos φ = P/S, где:

· cos φ – коэффициент мощности;

· Р - активная мощность Вт;

· S - полная мощность ВА;

Коэффициент мощности можно определить как расчетным путем, так и измерить специальными приборами. Только в том случае, когда нагрузка имеет исключительно активный характер, cos φ равен единице. В основном же, активная мощность меньше полной и поэтому коэффициент мощности меньше единицы.

Следует учитывать, что низкий коэффициент мощности потребителя приводит:

· к необходимости увеличения полной мощности трансформаторов и электрических станций, а также к увеличению сечения питающих линий электропередач;

· к понижению коэффициента полезного действия вырабатывающих и трансформирующих элементов цепи;

· к увеличению потерь мощности и напряжения в проводах. При одних и тех же значениях мощности и напряжения уменьшение коэффициента мощности сопровождается увеличением тока в проводах, вследствие чего возрастают потери на нагрев, что, в свою очередь, приводит к падению напряжения в сети;

Чем меньше коэффициент мощности сети, тем менее загружена сеть активной мощностью и тем меньше коэффициент полезного действия использования сети. В связи с этим необходимо, чтобы как можно большую часть в полной мощности составляла именно активная мощность, а не реактивная, в этом случае коэффициент мощности будет ближе к единице.

Чтобы лучше понять данный вопрос, давайте рассмотрим причины низкого коэффициента мощности:

· Недогрузка асинхронных электродвигателей. Потребляемая активная мощность уменьшается пропорционально нагрузке, а реактивная мощность изменяется меньше;

· Неправильный выбор типа электродвигателя. Двигатели быстроходные и большой мощности имеют более высокий коэффициент мощности, чем тихоходные и маломощные;

· Повышение напряжения в сети. Ведет к увеличению намагничивающего тока индуктивных потребителей реактивной составляющей полного тока;

Для увеличения коэффициента мощности можно:

· изменить мощность и тип устанавливаемых электродвигателей;

· увеличить загрузку электродвигателей в процессе работы;

· уменьшить время работы в холостом режиме оборудования потребляющего индуктивную мощность;

· установить установку компенсации реактивной мощности с конденсаторами производства «Нюкон»;

Коэффициент передачи (также коэффициент преобразования) — отношение напряжения на выходе той или иной системы, предназначенной для передачи электрических сигналов, к напряжению на входе. В частном случае, когда значения выходного и входного сигнала являются однородными, коэффициент передачи называют коэффициентом усиления. K_П = U_ВЫХ/ U_ВХ. Коэффициент передачи часто выражают в логарифмическом виде, как 20 lg (U_ВЫХ / U_ВХ), дБ.

Добротность – ДОДЕЛАТЬ111

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) — функция, показывающая зависимость модуля некоторой комплекснозначной функции от частоты. Также может рассматриваться АЧХ других комплекснозначных функций частоты, например, спектральной плотности мощности сигнала.

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) — частотная зависимость разности фаз между выходным и входным сигналами.

Для линейной электрической цепи, зависимость сдвига по фазе между гармоническими колебаниями на выходе и входе этой цепи от частоты гармонических колебаний на входе.

Часто ФЧХ используют для оценки фазовых искажений формы сложного сигнала, вызываемых неодинаковой задержкой во времени его отдельных гармонических составляющих при их прохождении по цепи

В теории управления ФЧХ звена определяется из равенства её тангенса отношению мнимой части АФЧХ к действительной:

53. Последовательный колебательный контур – Вопрос № 51

Расстройка – ДОДЕЛАТЬ111

Избирательностью называют свойство колебательного контура выделять колебания одной избранной частоты. Различные контуры обладают неодинаковой избирательностью. Дело в том, что если на контур воздействуют два сигнала, частоты которых близки, то он может оказаться не в состоянии разделить эти сигналы. Не следует думать, что колебательный контур увеличивает напряжение или ток только в случае точного совпадения его частоты с собственной частотой колебательного контура. Если частота источника, подключенного к контуру, незначительно отличается от резонансной частоты, то напряжение или ток этого источника все же будут увеличены контуром, хотя и в меньшей степени, чем при резонансе. Поэтому всякий колебательный контур выделяет в действительности не одну частоту, а целую полосу частот. Полоса частот, выделяемых колебательным контуром, называется полосой пропускания колебательного контура. Ширина полосы пропускания измеряется в герцах, килогерцах, мегагерцах. Она зависит от добротности колебательного контура: чем выше добротность, тем уже полоса пропускания. Ширину полосы пропускания можно подсчитать по следующей простой формуле. Понятно, что чем уже полоса пропускания, тем лучше избирательность контура, тем лучше он разделяет сигналы, имеющие близкие частоты, тем меньше воздействуют на него всевозможные помехи.

Если соединить последовательно электрический конденсатор и катушку индуктивности, то для синусоидального сигнала определенной частоты указанная схема будет демонстрировать нулевое реактивное сопротивление. Этот эффект называется резонансом колебательного контура, сама схема из конденсатора и индуктивности - последовательным колебательным контуром, а частота, на которой проявляется этот эффект - частотой резонанса.

Хотя и катушка индуктивности, и конденсатор имеют некоторое реактивное сопротивление, вместе они реактивного сопротивления не проявляют. Причина проста. Конденсатор и катушка накапливают и отдают энергию, но делают это по-разному. В тот момент, когда катушка накапливает энергию, конденсатор ее отдает, и наоборот. Конечно, этот эффект проявляется только для синусоидального сигнала, на определенной частоте, в установившемся режиме. Если частота сильно отличается от резонансной, то схема теряет свои чудесные качества и проявляет себя, как катушка и конденсатор. Если последовательный колебательный контур не был запитан, а теперь на него подали синусоидальный сигнал резонансной частоты, то сопротивление будет уменьшаться постепенно, по мере перехода контура в стационарный режим работы.

Если пропускать через последовательный колебательный контур синусоидальный электрический ток резонансной частоты, то падение напряжения на контуре будет равно нулю. Но падение напряжения на конденсаторе отдельно, индуктивности отдельно будет иметь место. Просто эти напряжения компенсируют друг друга в каждый момент времени. Напряжения на конденсаторе и катушке могут быть очень значительными. Одной из популярных ошибок при проектировании последовательного колебательного контура является неправильная оценка напряжения на конденсаторе. Напряжение может в разы, десятки, сотни раз превышать напряжение источника питания. На основе этого эффекта даже разработаны схемы повышающих преобразователей напряжения.

[ Амплитудное значение напряжения на конденсаторе, В ] = [ Амплитудное значение силы тока через контур, А ] * [ ZC ], где [ ZC ] = 1 / (2 * ПИ * [ Частота сигнала, Гц ] * [ Емкость конденсатора, Ф ])

Необходимо также обратить внимание, чтобы ток через последовательный контур не приводил к насыщению сердечника катушки индуктивности.

В схемотехнике последовательный колебательный контур применяется, если необходимо пропустить сигнал определенной частоты и отфильтровать все другие. Колебательные контуры бывают небольшие, рассчитанные на работу с небольшими токами и напряжениями, например, во входных и внутренних цепях радиоприемника. Но бывают и силовые, рассчитанные на большие токи и напряжения, например, в радиопередатчиках, силовых резонансных фильтрах и т. д.

54. Параллельный колебательный контур – Вопрос № 51

Метод активных и реактивных составляющих токов

Этот метод предусматривает использование схемы замещения с последовательным соединением элементов (рис 2.1). В данном случае три параллельные ветви рассматриваются как три отдельные неразветвлённые цепи, подключенные к одному источнику с напряжением U. Поэтому в начале расчёта определяем полные сопротивления ветвей:

Z1 = = = 3,61 Ом;

Z2 = = = 18,4 Ом;

Z3 = XL3 = 18 Ом.

Углы сдвига фаз между напряжениями и токами в ветвях определяются также по синусу (или тангенсу):

Резонанс токов Общая электротехника и электроника

Sinφ1 = -XC1 / Z1 = 3 / 3,61 = -0,831; φ1 = -56,2; Cosφ1 = 0,556;

Sinφ2 = -XC2 / Z2 = -12 / 18 = -0,652; φ2 = -40,7; Cosφ2 = 0,758;

Sinφ3 = 1; φ3 = 90; Cosφ3 = 0.

Затем можно определять токи в ветвях по закону Ома:

I1 = U / Z1 = 65 / 3,61 = 18 А.;

I2 = U / Z2 = 65 / 18,4 = 3,53 А.;

I3 = U / Z3 = 65 / 18 = 3,61 А.

Для определения тока в неразветвлённой части цепи нужно знать активные и реактивные составляющие токов в ветвях и неразветвленной части цепи:

Ia1 = I1 * Cosφ1 = 18 * 0,556 = 10 A;

Ip1 = I1 * Sinφ1 = 18 * (-0,83) = -14,9 A;

Ia2 = I2 * Cosφ2 = 3,53 * 0,758 = 2,68 A;

Ip2 = I2 * Sinφ2 = 3,53 * (-0,652) = -2,3 A;

Ip3 = I3 = 3,61 A.

Активная и реактивная составляющие тока в неразветвлённой части цепи:

Ia = Ia1 + Ia2 = 10 + 2,68 = 12,68 A;

IP = IP1 + IP2 + IP3 = –14,9 – 2,3 + 3,61 = -13,59 A.

Полный ток в неразветвлённой части цепи:

I = = = 18,6 A.

Угол сдвига фаз на входе цепи:

Sinφ = IP / I = –13,59 / 18,6 = –0,7312; φ = -46,98; Cosφ = 0,6822.

Резонанс токов — резонанс, происходящий в параллельном колебательном контуре при его подключении к источнику.
При Этом реактивные сопротивления катушки индуктивности и конденсатора должны быть равны - при таких условиях возникает резонанс...
Поскольку резонанс будет происходить только при определенной частоте - то такой контур будет считаться фильром, который будет пропускать какую-то "одну" частоту и радерживать все остальные.

Применение
-Высокодобротный колебательный контур оказывает току определенной частоты f значительное сопротивление. Вследствие чего явление резонанса токов используется в полосовых фильтрах как электрическая «пробка», задерживающая определенную частоту.
-Так как току с частотой f оказывается значительное сопротивление, то и падение напряжения на контуре при частоте f будет максимальным. Это свойство контура получило название избирательность, оно используется в радиоприемниках для выделения сигнала конкретной радиостанции.
-Колебательный контур, работающий в режиме резонанса токов, является одним из основных узлов электронных генераторов.

Признаки резонанса – ДОДЕЛАТЬ111

Резонанс возникает на определённой частоте, когда индуктивная и ёмкостная составляющие реакции системы уравновешены, что позволяет энергии циркулировать между магнитным полем индуктивного элемента и электрическим полем конденсатора.

Механизм резонанса заключается в том, что магнитное поле индуктивности генерирует электрический ток, заряжающий конденсатор, а разрядка конденсатора создаёт магнитное поле в индуктивности — процесс, который повторяется многократно, по аналогии с механическим маятником.

Электрическое устройство, состоящее из ёмкости и индуктивности, называется колебательным контуром. Элементы колебательного контура могут быть включены как последовательно, так и параллельно. При достижении резонанса, импеданс последовательно соединённых индуктивности и ёмкости минимален, а при параллельном включении — максимален. Резонансные процессы в колебательных контурах используются в элементах настройки, электрических фильтрах. Частота, на которой происходит резонанс, определяется величинами (номиналами) используемых элементов. В то же время, резонанс может быть и вреден, если он возникает в неожиданном месте по причине повреждения, недостаточно качественного проектирования или производства электронного устройства. Такой резонанс может вызывать паразитный шум, искажения сигнала, и даже повреждение компонентов.

Приняв, что в момент резонанса индуктивная и ёмкостная составляющие импеданса равны, резонансную частоту можно найти из выражения

,

где ; f — резонансная частота в герцах; L — индуктивность в генри; C — ёмкость в фарадах. Важно, что в реальных системах понятие резонансной частоты неразрывно связано с полосой пропускания, то есть диапазоном частот, в котором реакция системы мало отличается от реакции на резонансной частоте. Ширина полосы пропускания определяется добротностью системы.

Векторная диаграмма — графическое изображение меняющихся по закону синуса (косинуса) величин и соотношений между ними при помощи направленных отрезков — векторов. Векторные диаграммы широко применяются в электротехнике, акустике, оптике, теории колебаний и так далее.

Дата добавления: 2015-07-15