Определение алгебраической операции

При рассмотрении операций над множествами, над высказываниями, над числами по двум элементам заданного множества Х находят (по определенному правилу) третий элемент того же множества. Например, по двум заданным множествам находят их объединение, по заданным высказываниям – их конъюнкцию, по двум заданным числам – их сумму и т.д.

Определение. Алгебраической операцией в множестве Х называют отображение (х; у) ® z, ставящее в соответствие любой упорядоченной паре элементов (х; у) этого множества единственный элемент z того же множества. Иными словами, в множестве Х определена бинарная операция, если задано отображение Х ´ Х ® Х (бинарной она названа потому, что рассматривается отображение двух множеств в одно, слово «вis» обозначает «дважды»).

Обозначим некоторую бинарную операцию в множестве Х условно символом *. Тогда по определению

(" х, у Î Х) ($! z Î X) [ z = x * y ].

Проведем некоторые примеры алгебраических операций.

П р и м е р 1. Сложение является алгебраической операцией в множестве натуральных чисел, поскольку сумма натуральных чисел является натуральным числом. Иными словами, операция сложения любой паре (х; у) натуральных чисел ставит в соответствие единственное натуральное число, которое обозначают х + у.

П р и м е р 2. Конъюнкция является алгебраической операцией в множестве высказываний, поскольку конъюнкция высказываний является высказыванием. Иными словами, операция конъюнкции любой паре (А, В) высказываний ставит в соответствие единственное высказывание, которое обозначают .

Заметим, для того, чтобы операция была определена в множестве Х, к ней предъявляются требования:

1) для любых двух элементов множества операция выполнима;

2) множество замкнуто относительно данной алгебраической операции, т.е. результат операции содержится в этом же множестве.

Например, в множестве натуральных чисел операция вычитания не определена, т.к. множество натуральных чисел не замкнуто относительно вычитания (2 – 5 = –3 Ï N). Можно еще добавить, что в множестве натуральных чисел определены операции сложения, умножения, возведения в степень. Не определены операции вычитания, деления, извлечения корня. В множестве целых чисел определены операции сложения, вычитания и умножения. Не определены деление и возведение в степень.

Дата добавления: 2015-07-18