Простейшие преобразования графиков функций

График функции обычно строят по точкам, т.е. сначала строят несколько точек принадлежащих графику (все точки графика построить вообще нельзя, потому что их может оказаться бесконечное множество), а затем эти точки соединяют плавной линией с учетом простейших свойств данной функции. Заметим, что график функции может состоять из конечного или бесконечного множества отдельных изолированных точек, в этом случае отпадает необходимость соединять их линией. Не следует думать, что можно построить график любой функции. Например, график функции Дирихле:

построить нельзя, его можно образно только представить себе, состоящим из множества точек, расположенных на оси Ox и имеющих иррациональные абсциссы, и множества точек, расположенных на прямой y = 1 (прямая, параллельная оси Ох, проведенная выше этой оси на одну единицу), имеющих рациональные абсциссы. Из определения функции видно, что она задана на всей числовой прямой, т.е. в интервале (–¥, +¥), а область изменения функции состоит из двух точек 0 и 1. Найдем несколько значений этой функции:

D (2) = 1; D (0) = 1; D () = 0; D (2) = 1; D (p) = 0.

График функции у = x², заданной на множестве рациональных чисел, также построить нельзя.

График функции у = п ², заданной на множестве натуральных чисел, будет состоять из бесконечного множества отдельных изолированных точек (рис. 4).

График функции f (x) = sign x =

(читается «сигнум икс». По латыни signum означает «знак») состоит из двух ветвей и одной точки (рис. 5).

Эта функция задана на всей числовой прямой, т.е. в интервале
(–¥, +¥), а множество ее значений состоит из трёх точек: –1, 0 и 1.

Иногда, зная график какой-нибудь функции, можно путем некоторого геометрического преобразования получить график другой функции.

Рассмотрим следующие преобразования графика функции:

1) осевая симметрия относительно оси абсцисс;

2) осевая симметрия относительно оси ординат;

3) параллельный перенос в направлении оси абсцисс;

4) параллельный перенос в направлении оси ординат;

5) растяжение (сжатие) по направлению оси абсцисс;

6) растяжение (сжатие) по направлению оси ординат.

Свойства этих преобразований состоят в том, что точка (х, у) плоскости переходит: при первом преобразовании в точку (х, – у), при втором – в точку (– х, у); при третьем – в точку (х + а, у), где а ³ 0; при четвертом – в точку (х, у + b), где b ³ 0, при пятом – в точку (kх, у), где k > 0, при шестом – в точку (х, mу), где m >0.

Перечисленные свойства преобразований можно принять за определения преобразований.

Пусть известен график функции y = f (x). Соответственно перечисленным преобразованиям из него могут быть получены графики функций: y = – f (x); y = f (– x); y = f (x ± а); y = f (x) + b; y = f (kx); y = mf (x).

В следующих далее параграфах 4-9 изложено доказательство этих утверждений.

В параграфах 10, 11 излагается способ построения графика функций в случае, если требуется последовательное выполнение нескольких геометрических преобразований графика.

§ 4. Графики функций f(x) и – f(x)
(Симметрия относительно оси абсцисс)

Если точки М (х; у) и М ₁(х ₁, у ₁) расположены симметрично относительно оси Ох, то х = x ₁, у + у ₁= 0 (у = – у ₁). И наоборот, если выполняются условия: х = х ₁, у + у ₁ =0, то точки М (х; у) и М ₁(х ₁; у ₁) симметричны относительно оси Ох (рис. 6). Нетрудно заметить, что любой точке М (х; у) графика функции f (x) соответствует точка М ₁(х ₁; у ₁) графика функции – f (x), симметричная точке М (х; у) относительно оси Ох (рис. 7). Следовательно, графики функций f (х) и – f (х)расположены симметрично относительно оси Ох.

§ 5. Графики функций f (х) и f (- х)
(Симметрия относительно оси ординат)

Легко заметить, что если точки М (х; у) и М ₁(х ₁; у ₁) расположены симметрично относительно оси Оу, то х + х₁ = 0(х =– х ₁), y = y ₁. И наоборот, если выполняются условия: х + х ₁ = 0 и y = y ₁, то точки
М (х; у) и М ₁(х ₁; у ₁) расположены симметрично относительно оси Оу (рис. 8). Эти соображения дают возможность установить вид графика функции f (– x), если известен график функции f (x).

Рис. 8 Рис. 9

Возьмем любую точку М (х; у) графика функции f (х) и покажем, что найдется точка М ₁(х ₁; у ₁) на графике функции f (– х), симметричная точке М (х; у) относительно оси Оу (рис. 9). В самом деле, если х = – x ₁ или х + х ₁ = 0,то f(х) = f (– х), т.е. у = y ₁, а такие две точки М (х; у) и М ₁(х ₁; у ₁), как уже говорилось, симметричны относительно оси Оу. Следовательно, каждой точке М (х; у) графика функции f (х)соответствует точка М ₁(х ₁; у ₁) графика функции f (– х), симметричная относительно оси Оу, это и означает, что графики функций f (х)и f (– х)расположены симметрично относительно оси Оу.

П р и м е р. Построить графики следующих функций:

1) у = 2 ^х; 2) у = 2^{– х} ; 3) у = –2 ^х.

Построение. Для построения графика первой функции составим таблицу:

х					–1	–2	–3
y

Построим точки, соответствующие парам чисел таблицы и соединим их плавной линией.

Далее, если первую функцию обозначить через f (х) = 2 ^x, то вторая функция будет f (– х) = 2^{– x}, а третья будет иметь вид – f (х) = –2 ^x. Имея график первой функции и руководствуясь правилами симметрии относительно осей координат, построим графики следующих двух функций (рис. 10).

у

у = 2^{- х} 4 у = 2 ^х

0 х

у = –2 ^х

Рис. 10

§ 6. Графики функций f(x) и f(x ± a)

(Параллельный перенос вдоль оси абсцисс)

Пусть даны две точки M (x; y) и M ₁(x ₁; y ₁), координаты которых удовлетворяют условиям: x ₁= x + a, y ₁ = y (a > 0) (1)

или x ₁= x – a, y ₁ = y (a > 0). (2)

Тогда можно утверждать, что точка M ₁ получена в первом случае путём переноса точки M вдоль оси Ox вправо на a единиц (рис. 11а) и во втором случае – влево на столько же единиц (рис.11б).

а) б)

Рис. 11

И наоборот, если точку М (х; у) перенести параллельно оси Ох на а единиц (a > 0) вправо или влево, то координаты точки M ₁(x ₁; y ₁)будут удовлетворять соответственно условиям (1) или (2) (рис. 11).

Эти соображения дают возможность по данному графику функции f (x) установить вид графиков функций f(х + а) и f (х – а). В самом деле, возьмем любую точку М (х; у) на графике функции f (x) и точку М ₁(х ₁; у ₁) на графике функции f (х + а) так, чтобы у = у ₁ т.е. f (х) = f (x ₁ +
+ а), тогда х = х ₁ + а или x ₁ = х – а. Отсюда следует, что любая точка М ₁(х ₁; у ₁) графика функции f (x + а), получается путем сдвига точки М (х; у) графика функции f(х) вдоль оси Ох на a единиц влево. Следовательно, график функции у = f(х + а) можно получить из графика функции у = f (x) сдвигом его влево вдоль оси Ох на а единиц.

Аналогично график функции у = f (x – а) можно получить из графика функции у = f (х) сдвигом его вправо вдоль оси Ох на а единиц (рис. 12).

Трудность построения графиков функций f (х + а)или f (х – а)
(а > 0)заключается не в том, что необходимо сначала построить график функции f (х), которую назовем «исходной», а в том, что построенный график нужно сдвинуть по оси Ох вправо на а единиц, чтобы получить график функции у = f (х – а), и влево на столько же единиц, чтобы получить график функции у = f (х +a).

Эту трудность можно исключить. Будем строить графики упомянутых функций иначе.

Пусть нужно построить график функции f (х – а) (а > 0).Проводим жирными линиями оси системы координат хОу и справа от начала координат на расстоянии а единиц проводим пунктиром прямую, параллельную оси Оу, получим новую систему координат хО'у', оси которой О'х и О'у' параллельны и одинаково направлены с осями Ох и Оу соответственно. В этой новой системе координат строим график исходной функции у = f (х), который и будет искомым графиком данной функции в старой системе координат хОу. Аналогичным способом строим и график функции у = f (x + а) (а > 0).

При построении графика функции необходимо учитывать точки пересечения графика с осями координат.

Построим, например, график функции у = (х + 2)² (рис. 13).

П о с т р о е н и е. Сначала начертим прямоугольную систему координат хОу и на расстоянии 2 единиц слева от начала координат проводим пунктиром прямую, параллельную оси Оу. В новой системе координат хО'у' строим график исходной функции у = х ². Построенный график будет искомым графиком функции у = (х + 2)² в системе координат хOу. Найдем точки пересечения графика данной функции с осями координат Оу и Ох. Пусть х = 0, тогда у = 2² = 4; если y = 0, то (х + 2)² = 0, отсюда x = –2.

Следовательно, A (0; 4) – точка пересечения графика с осью Оу и О' (–2; 0) – точка касания с осью Ox (рис. 13).

§ 7. Графики функций f (x) и f (x)+ b
(Параллельный перенос вдоль оси ординат)

Пусть даны две точки М (х; у) и M ₁(x ₁; y ₁), координаты которых удовлетворяют условиям:

x ₁ = х, у ₁ = у + b. (1)

Тогда можно утверждать, что точка М ₁ получена путем переноса точки М вдоль оси Оу вверх на b единиц, если b > 0 (рис.14а), и вниз на столько же единиц, если b < 0 (рис. 14б).

а) б)

Рис. 14

И, наоборот, если точку М (х; у) перенести параллельно оси Оу на b единиц вверх (b > 0) или на столько же единиц вниз (b < 0), то координаты точки M ₁(x ₁; y ₁) будут удовлетворять условиям (1).

Покажем, что любая точка M ₁(x ₁; y ₁) графика функции у= f(х)+b получается сдвигом точки М (х; у) графика функции y = f(х) вдоль оси Оу на b единиц вверх, если b > 0, и на столько же единиц вниз, если
b < 0.

Пусть x ₁ = х, тогда у ₁ = f (х ₁) + b = f (х) + b = у + b, т.е. выполняется условие (1).

Следовательно, график функции у = f (х) + b получается из графика функции у = f (х) сдвигом вдоль оси Оу на b единиц вверх, если
b > 0, и на столько же единиц вниз, если b < 0 (рис.15).

Сформулируем правило построения графика иначе.

Пусть нужно построить, график данной функции у = f (х) + b. Проводим оси системы координат хОу и выше (ниже) оси Ох, на расстоянии от нее на b единиц, если b > 0(b < 0), проводим пунктиром прямую, параллельную оси Ох. Получим новую систему координат х'О'у. В этой системе координат строим график исходной функции
y = f (x),который и будет искомым графиком данной функции в системе координат хОу. Аналогично строим график данной функции и при
b < 0.

Например. Рассмотрим п о с т р о е н и е графика функции
у = х ² + 1.

Сначала строим прямоугольную систему координат хОу, затем на расстоянии 1 единицы вверх от начала координат проводим пунктиром прямую, параллельную оси Ох. В новой системе координат х'О'у строим график исходной функции у = х ². Построенный график будет искомым графиком данной функции в системе координат хОу (рис. 16).

Рис. 1 5 Рис. 1 6

§ 8. Графики функций f(х) и f(kх)
(Растяжение (сжатие) графика по оси абсцисс)

Пусть даны две точки М (х; у) и M ₁(x ₁; y ₁), координаты которых удовлетворяют условиям:

x ₁ = , y ₁= y. (1)

В этом случае можно считать, что точка M ₁ получена путем растяжения в раз (0 < k < 1) или сжатия в k раз (k > 1) абсциссы точки М. И наоборот, если плоскость подвергнута равномерному растяжению или сжатию по оси Ох с коэффициентами соответственно
(0 < k < 1)и k (k > 1),то точка М (х; у) переходит в точку M ₁(x ₁; y ₁) и координаты этих точек удовлетворяют условиям (1).

Любая точка M ₁(x ₁; y ₁) графика функции у = f(kх) получается растяжением в раз (0< k <1)или сжатием в k раз (k > 1) абсциссы точки М (х;у) графика функции у = f (х). Это следует из того, что при у ₁ = у или f (kх ₁) = f (х), kх ₁ = x, х ₁= , т.е. из выполнения условий (1). Следовательно, график функции у = f(kх) (рис. 17) можно получить из графика функции у = f (х) растяжением его в раз по оси Оx, если (0< k <1), и сжатием в k раз, если k > 1 (растяжение графика происходит от оси Oy, а сжатие – к оси Oy).

Рис. 17

При k < 0 к преобразованию растяжения (сжатия) присоединяется симметрия относительно Oy.

§ 9. Графики функций f(х) и mf(х)
(Растяжение (сжатие) графика по оси ординат)

Пусть даны две точки М (х; у) и M ₁(x ₁; y ₁), координаты которых удовлетворяют условиям:

x ₁ = х, у ₁ = ту. (1)

Можно утверждать, что точка М ₁ получена путем растяжения в т раз (т > 1)или сжатия в раз (0 < т < 1) ординаты точки М. И наоборот, если плоскость подвергнута равномерному растяжению (сжатию) с коэффициентом растяжения m > 1 (сжатия 0 < m < 1) по оси Оу, то точка М (х: у) переходит в точку M ₁(x ₁; y ₁) и координаты этих точек удовлетворяют условиям (1).

Любая точка M ₁(x ₁; y ₁) графика функции у = mf (x) получается растяжением в т раз (m > 1) или сжатием в раз (0 < m < 1) ординаты точки М (х; у) графика функции у = f (x). В самом деле, если x ₁= x, то y ₁ = mf (x ₁) = mf (x) = mу, т.е. выполняются условия (1).

Следовательно, график функции у = тf (x) (рис. 18) можно получить из графика функции y = f(x) растяжением в m раз по оси Oy, если m > 1и сжатием в раз, если 0 < m < 1(растяжение графика происходит от оси Ox, а сжатие – к оси Ox).

При m < 0 к преобразованию растяжения (сжатия) присоединяется симметрия относительно оси Ox.

Например. Построить график функции y = 1,5 sin x.

П о с т р о е н и е. Сначала строим график исходной функции у = sin х, а затем растяжением этого графика в 1,5 раза по оси Оу получим искомый график (рис. 19).

Рис. 18 Рис. 19

§ 10. Графики функций f (х) и f (х + а) + b

График функции у = f (х + а) + b можно построить двумя способами.

I способ. Сначала построим систему координат хОу (рис. 20). Далее пунктиром построим график исходной функции у = f (х) и сдвинем его по оси Оx влево на |а| единиц при а > 0 или вправо на столько же единиц при а < 0, а затем по оси Оу вверх на | b | единиц при b > 0 или вниз на столько же единиц при b < 0 (см. § 6, 7), т.е. последовательно выполняем два преобразования.

Выполнить такие смещения графика исходной функции, как уже говорилось, слишком громоздко, поэтому будем строить график данной функции другим способом.

II способ. Построим систему координат хОу (рис. 21), затем произведем параллельный перенос осей координат, т.е. смещение графика заменим смещением осей координат, что сделать значительно проще. В новой системе координат х'O'у' построим график исходной функции у = f (х), который и будет искомым графиком данной функции в системе координат хОу. Нетрудно заметить, что координаты начала О ¢ новой системы координат относительно первоначальной системы координат будут (- а, b), т.е. если началом системы координат xOу была точка O (0; 0), то в новой системе началом является точка О' (– а; b). Разумеется, что координаты той же точки О ¢ в системе координат х'O'у' будут (0, 0).

Рис. 20 Рис. 21

§ 11. Графики функций f(x) и mf(x + a) + b, mf(kx), mf(kx + a) + b

Если известен график функции у = f (x), график функции

у = тf (х + а) + b можно построить следующим образом: сначала строим систему координат хОу, затем через точку О' (– а, b), являющуюся началом новой системы координат, проводим оси координат О'х' и О'y' одинаково направленные и параллельные осям Ох и Оу соответственно. В этой новой системе координат строим график функции у = тf(х) (см. § 9), который и будет искомым графиком данной функции в системе координат хОу.

График функции у = тf (kх) можно построить так: сначала строим график исходной функции у = f (x), затем производим растяжение (сжатие) этого графика по оси Ох с коэффициентом | k | и по оси Оу с коэффициентом | m |. При m < 0 (k < 0)к преобразованию растяжения (сжатия) присоединяется симметрия относительно оси Ох (Оу) (см. § 8, 9).

Если а = b = 0, то функция тf (kх + а) + b будет иметь вид
у = тf (kх). Построение графика такой функции рассмотрено выше. Остановимся на случае, когда хотя бы один из коэффициентов а и b отличен от нуля.

Функцию

(1)

представим так:

(2)

График функции (2) можно построить следующим образом: сначала строим систему координат хОу, затем строим новую систему координат х'О'у', т.е. через точку О' () проводим оси координат О'х' и О'у', параллельные и одинаково направленные с осями Ох и Оу соответственно. В этой новой системе координат строим график функции у = тf (kх). Полученный график будет искомым графиком функции (1) в системе координат хОу.

В заключение напомним еще раз, что в ходе построения графика любой функции весьма полезно определить точки пересечения графика с осями координат.

---

Дата добавления: 2015-07-18