Отношение порядка на множестве положительных действительных чисел

Отметим еще раз, что множество положительных действительных чисел является расширением множества положительных рациональных чисел. Рассмотрим теперь вопрос о сравнении положительных действительных чисел. Ранее мы установили, что соответствие между действительными положительными числами и бесконечными десятичными дробями не имеющими девять в периоде, взаимнооднозначное: каждому положительному действительному числу соответствует вполне определенная десятичная бесконечная дробь и, наоборот, каждая такая десятичная дробь является представлением вполне определенного действительного положительного числа.

Рассмотрим два положительных действительных числа:

x = и у = .

Положительные действительные числа х и у считаются равными, если равны их целые части и соответствующие десятичные знаки,

т.е. х = у Û а = в, а_i = в_i (i = 1, 2, 3,...).

Если же целые части дробей различны или одна из дробей имеет десятичный знак, не совпадающий с соответствующим десятичным знаком другой дроби, то эти два положительных действительных числа считаются неравными.

Число х меньше числа у, если а < в или если найдется такое к,

что а = в, а ₁ = в ₁,..., а_{к -1}= в _к-1, но а_к < в_к.

Отношение «меньше» в множестве R₊ антисимметрично, транзитивно и устанавливает в множестве R₊ строгий линейный порядок.

В множестве R₊ как и в множестве Q₊ нет ни наименьшего, ни наибольшего числа. Кроме того, между любыми двумя числами из R₊ лежит бесконечно много действительных чисел.

Очень важным свойством отношения порядка в множестве R₊, которое отсутствует в Q₊, является свойство непрерывности. Чтобы его сформулировать введем следующие понятия. Будем говорить, что числовое множество Х Ì R₊ расположено слева от числового множества Y Ì R₊, если для любых х Î Х и у Î Y выполняется неравенство х < у. Например, множество точек числового отрезка [2; 6] расположено слева от множества точек числового отрезка [8; 13]. Число 7 обладает тем свойством, что первое множество расположено слева от него, а второе справа. Говорят, что число 7 разделяет числовые отрезки [2; 6] и [8; 13].

Вообще, число с разделяет числовые множества Х и Y, если для любых х Î X, у Î Y имеем x £ c £ у.

Свойство непрерывности множества R₊ формулируется так:

Если числовое множество Х расположено слева от числового множества Y, то найдется хотя бы одно число, разделяющее эти множества.

Дата добавления: 2015-07-18