Сложение и умножение положительных действительных чисел

Определим теперь сложение и умножение в R₊ так, чтобы в частном случае, когда слагаемые являются положительными рациональными числами, эта операция совпадала с уже введенной нами операцией сложения положительных рациональных чисел.

Пусть даны положительные действительные числа:

x = и

у = .

В § 1 этой главы было показано, что при любом к имеем неравенства

x_к £ x < x¢_к и y_к £ y < y¢_к.

Число равное х + у должно быть заключено между числами (x_к + y_к) и (x¢_к + y¢_к), т.е. x_к + y_к £ x+ у < x¢_к + y¢_к при любом натуральном к.

Определение. Суммой двух положительных действительных чисел х и у называют такое число с, которое при любом натуральном k удовлетворяет неравенствам x_к + y_к £ с < x¢_к + y¢_к, т.е. с – число, разделяющее множества { x_к + y_к } и { x¢_к + y¢_к }.

Можно доказать, что такое число существует и является единственным. Мы ограничимся только иллюстрацией того, как данное определение суммы позволяет находить ее приближенное значение.

Пусть x = 3,247001..., у = 0,257702....

x_к + y_к= 3,504703, x¢_к + y¢_к = 3,504705, и мы можем написать пять верных знаков после запятой для определяемой суммы х + у =
= 3,50470....

Можно доказать, что операция сложения в множестве R₊ коммутативна, ассоциативна и монотонна. Кроме того, ни для каких х и у из R₊ не выполняется равенство х = х + у.

Определение. Произведением двух положительных действительных чисел х и у называют такое положительное действительное число р, которое при любом натуральном к удовлетворяет неравенствам x_к × y_к £ р < x¢_к × y¢_к, т.е. р – число, разделяющее множества { x_к × y_к } и
{ x¢_к × y¢_к }.

Операция умножения в R₊ коммутативна, ассоциативна и дистрибутивна относительно сложения.

Операции вычитания и деления определяются как операции, обратные операциям сложения и умножения в R₊ .

Дата добавления: 2015-07-18