Вычитание целых неотрицательных чисел

Определение. Разностью целых неотрицательных чисел а и в называют целое неотрицательное число с равное числу элементов в дополнении множества В до множества А, таких что а = n (А), в = n (В), В Í A.

Символически это определение можно записать так:

с = а – в = n (А \ В), где а = n (А), в = n (В), В Í А.

Заметим, что для множеств А и В, таких что А = (A \ B) B, следовательно n (А) = n ((A \ B) B). Поскольку множества А \ В и В не пересекаются, то по определению суммы n (А) = n (А \ В) + n (В). Тогда
а = с + в.

Значит, с = а – в Û а = с + в.

Определение. Операция (правило), посредством которой находится разность чисел а и в, называют вычитанием, где а – уменьшаемое, в – вычитаемое.

Теорема 1. Разность целых неотрицательных чисел существует тогда и только тогда, когда а ³ в.

Доказательство. Пусть с = а – в, докажем, что а ³ в.

с = а – в = n (А \ В), где а = n (А), в = n (В), В Í А. Т.к. В Í А Þ в £ а или иначе а ³ в.

Пусть теперь а ≥ в => В Í А, где а = n (А), в = n (В). Тогда а – в по определению разности существует.

Теорема 2. Если разность двух целых неотрицательных чисел существует, то она единственная.

Доказательство. По определению разности а – в = n (А \ В), где
а = n (А), в = n (В), В Í A. Т.к. число элементов в дополнении множества В до множества А определяется единственным образом, то разность а – в тоже единственная.

Теорема 3. (" a, в, с Î N ₀ и таких что a + в ≥ c)

Теорема 4. (" a, в, с Î N ₀ и таких что a ≥ в + c)

Теорема 5. (" a, в, с Î N ₀ и таких что a – в ≥ c)

Теорема 6. (" a, в, с Î N ₀ и таких что a ≥ в – c)

Теорема 7. (" a, в, с Î N ₀ и таких что в ≥ c)

Теоремы 3-7 доказываются с использованием теоретико-множественного истолкования сложения и вычитания. Читателю предлагается самостоятельно доказать эти теоремы.

Дата добавления: 2015-07-18