Деление с остатком

Рассмотрим пример из начального курса математики:

7368 24

72 307

168

В этом примере пришлось 3 раза выполнять деление с остатком:

73: 24 = 3 (ост. 1);

16: 24 = 0 (ост. 16);

168: 24 = 7 (ост. 0).

С делением с остатком ученики знакомятся во втором классе на примерах: 11:2 = 5 (ост. 1), 19: 4 = 4 (ост. 3). Остаток при делении всегда должен быть меньше делителя.

Определение. Делением с остатком натурального числа а на натуральное число в называют правило, посредством которого находится пара натуральных чисел q – неполное частное и r – остаток, удовлетворяющих следующим условиям:

1) а = вq + r,

2) 0 ≤ r < в.

Теорема. Каковы бы ни были натуральные числа а и в частное q и остаток r при делении а на в всегда существуют и притом единственные.

Доказательство существования частного и остатка.

В случае, когда а делится на в, а: в = q (ост.0), значит, а = вq + 0, 0 ≤ 0 < в.

В случае, когда 0 < а < в и а не делится на в, а: в = 0 (ост. а), значит, а = в · 0 + а, 0 ≤ а < в.

В случае, когда а > в и а не делится на в (например.86: 10), для отыскания частного и остатка проведем следующие рассуждения. Рассмотрим возрастающую последовательность натуральных чисел, кратных в:

в · 1, в · 2, в · 3,..., в · q, в (q + 1), ….

Эта последовательность возрастающая, т.к. в ≥ 1. Нетрудно заметить, что число а расположится между двумя членами рассматриваемой последовательности, но ни с одним из членов последовательности совпадать не будет, т.к. по условию а не кратно в. Найдем наибольшее q, для которого в · q < a и в (q + 1) > а. Так как a > вq, то разность а – вq существует, т.е. а – вq = r, где r Î N ₀, т.к. в (q + 1) > а, то вq + в > а и в > а – вq, т.е. в > r. Мы доказали, что найденное r < в. Итак, для всех возможных случаев:

1) а = вq + r,

2) 0 ≤ r < в.

Паре (а, в) поставили в соответствие пару (q, r).

Докажем единственность частного и остатка.

Предположим, что для пары (а, в) существует 2 пары чисел: 2 частных и 2 остатка, для которых:

.

Левая часть последнего равенства делится на в, значит и правая должна делиться на в, но r ₁ < в, r ₂ < в, значит r ₂ – r ₁ < в, отсюда
r ₂ – r ₁ = 0. Значит, r ₁ = r ₂ и q ₁ = q ₂. Единственность доказана.

Следствие. Если делимое и делитель при делении с остатком увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то частное не изменится, а остаток, соответственно, увеличится или уменьшится во столько же раз.

Действительно, пусть а: в = q (ост. r), тогда:

1) а = вq + r,

2) 0 ≤ r < в.

Умножим обе части 1) и 2) на т Î N, получим:

1) am = вqт + rт,

2) 0 ≤ rm < вm.

Вопросы и задания для самопроверки

1. В чем суть аксиоматического способа построения математической теории?

2. Убедитесь, что отношение «непосредственно следовать за», заданное на множестве отрицательных целых чисел {–1, –2, –3,... } удовлетворяет аксиомам Пеано.

3. Докажите М.М.И., что для любого натурального числа n
1² + 3² + 5² +... + (2 n – 1)² = .

4. Используя аксиоматическое определение сложения, найдите значение выражения: а) 3 + 2; б) 3 + 3; в) 3 + 4.

5. Используя аксиоматическое определение умножения, найдите значение выражения: а) 3 · 2; б) 3 · 3; в) 3 · 4.

6. Сформулируйте определение деления с остатком и, используя его, разделите с остатком 30 на 8; 30 на 6; 30 на 31.

Выполните соответствующие записи.

Дата добавления: 2015-07-18