Кванторы

Рассмотрим операции, преобразующие предикаты в высказывания. Одной из таких операций является подстановка вместо переменных их значений. Например, подставим вместо переменных х, у в двухместном предикате А (х, у): «х делится на у» пару чисел (6, 2) получим высказывание: «6 делится на 2» – «И». Подставим пару чисел (5, 2), получим высказывание «5 делится на 2» – «Л».

Другой операцией, преобразующей предикат в высказывание, является операция связывания кванторами.

1. Выражение «для всех х» (для всякого х, для каждого х, для любого х) называют квантором общности и обозначают символом (" х).

2. Выражение «существует х» (найдется х, существует хотя бы один х) называют квантором существования и обозначают символом ($ х).

Различают эти два основных вида квантора. Квантор существования имеет еще одну разновидность, а именно: выражение «существует точно один х» называется квантором существования и единственности и обозначается символом ($! х).

Высказывание (" x Î X) В (х) читают: «для любого х из X выполняется (справедливо) В (х)».

Высказывание ($ х Î Х) В (х) читают: «существует такое х из X, что выполняется (справедливо) В (х)».

Высказывание ($! х Î Х) В (х) читают: «существует точно одно значение х из Х, что справедливо В (х)».

Приведем п р и м е р употребления кванторов.

Пусть задан предикат х < 5, x Î R.

Используя кванторы, запишем следующие высказывания:

(" x Î R) [ х < 5] (для всякого x Î R выполняется неравенство х < 5) – это ложное высказывание. ($ х Î R) [ x < 5] (существует х Î R, такое, что х < 5) – это истинное высказывание. ($! х Î R) [ x < 5] (существует точно одно значение х Î R, такое, что x < 5) – это ложное высказывание.

Все сказанное выше о связывании кванторами в одноместных предикатах остается справедливым и для многоместных предикатов, только для получения из них высказываний надо связать квантором каждую переменную. Например, если дан предикат «число х меньше числа y», то из него можно получить, например, такие высказывания (" x Î R) (" y Î R) [ x < y ] или ($ х Î R) ($ y Î R) [ x < y ].

Замечание. Если рядом стоят несколько одноименных кванторов по переменным с одной областью определения, то условились писать знак квантора только один раз, перечислив за ним все эти переменные.

В силу этого замечания, приведенный выше пример, запишется так:

(" х, y Î R)[ x < y ] или ($ х, y Î R)[ x < y ].

Возникает вопрос, как установить значение истинности высказывания с кванторами.

Истинность высказывания с квантором общности устанавливается путем доказательства. Чтобы установить ложность такого высказывания достаточно привести контрпример. Дело в том, что квантор общности можно рассматривать как обобщение конъюнкции, а квантор существования как обобщение дизъюнкции. По этой же причине отрицание высказывания с квантором общности равносильно высказыванию с квантором существования, после которого стоит отрицание предложения, т.е.

Û .

Истинность высказывания с квантором существования устанавливается при помощи конкретного примера. Ложность такого высказывания устанавливается путем доказательства. Отрицание высказывания с квантором существования равносильно высказыванию с квантором общности, после которого стоит отрицание предложения, т.е. Û .

Дата добавления: 2015-07-18