Высказывания. Элементарные и составные высказывания

Любое рассуждение состоит из цепочки предложений, вытекающих друг из друга по определенным правилам. Среди предложений, в которых идет речь о свойствах или отношениях между математическими понятиями, выделяют высказывания и высказывательные формы (предикаты).

Под высказыванием будем понимать повествовательное предложение, об истинности или ложности которого имеет смысл говорить.

Приведем примеры высказываний:

1) Уфа – столица Башкортостана;

2) В Стерлитамаке зимой никогда нет снега;

3) Нью-Йорк – столица США;

4) 2 > 0;

5) –7 > – 8;

6) 4 + 1 = 5;

7) H ₂ SO ₄ – кислота;

8) Если число n делится на 4, то оно четное;

9) Неверно, что С.-Петербург – столица России;

10) Пальмы растут в Крыму и на берегу Белого моря;

11) Четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда его диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Из определения ясно, что высказываниями не являются вопросительные и восклицательные предложения.

Не являются высказываниями и определения понятий, хотя они имеют форму повествовательного предложения, поскольку представляют собой условное соглашение о введении нового термина.

Предложения, содержащие переменные (х + 2 = 5 и т.д.), тоже не являются высказываниями. Не высказывания и предложения такого типа: «Завтра будет снег», «В субботу я получу оценку 5» и т.д.

Высказывания обозначаются большими латинскими буквами А, В, С и т.д. Каждому высказыванию приписывается значение истинности. Если высказывание А истинно, то записывается А – «И»; если же высказывание А – ложно, то пишут: А – «Л». Любое высказывание может принимать только одно из двух значений истинности.

Высказывания бывают элементарными и составными. Примеры элементарных высказываний среди приведенных выше: 1), 3), 4), 5), 6), 7). Если заданы высказывания А и В, то из них можно составить новые высказывания, используя связки «и», «или», «если... то», «либо... либо», «тогда и только тогда», а также частицу «не». Такие высказывания называются составными, а входящие в них высказывания – элементарными. Примеры составных высказываний из приведенных выше: 2), 8), 9), 10), 11).

Два составных высказывания называют равносильными (эквивалентными), если они одновременно «И» или «Л» при любых предположениях об истинности входящих в них элементарных высказываний. В этом случае пишут: А Û В (или А = В).

Операции, выполняемые над высказываниями и порождающие новые высказывания, будем называть логическими операциями.

Приступая к определению логических операций, мы ставим перед собой задачу, чтобы эти определения как можно лучше соответствовали обычному смыслу, в котором употребляются слова «не», «и», «или», «если... то», «если и только если» в естественном (русском) языке.

Замечание. Синонимами слова «высказывание» являются слова: «суждение», «утверждение», «предложение». Из контекста изложения бывает ясно, почему предпочтение отдано именно этому термину.

Дата добавления: 2015-07-18