Виды отображений. Обратное отображение

При отображении X в Y каждый элемент множества X соответствует одному и только одному элементу из Y. На элементы множества Y ограничений не накладывается. Может случиться, что некоторые элементы множества Y не являются образами ни одного элемента множества X, другие являются образами точно одного элемента множества X, третьи – нескольких или даже бесконечного множества элементов множества X.

Определение. Если каждый элемент множества Y является образом хотя бы одного элемента из X, то такое отображение называют сюръекцией или отображением множества X на множество Y.

На рисунке 12 приведен пример графа такого отображения.

Рис. 12

Заметим, что в множестве Y пришлось взять «меньше» элементов, чем в X. Рассмотрим теперь случай, когда в Y «больше» элементов, чем в X. В этом случае мы получим отображение множества X в множество Y.

Определение. Если каждый элемент множества Y является образом не более одного элемента из X, отображение называют инъекцией.

На рисунках 13 и 14 приведены примеры графов таких отображений.

Возьмем теперь в X и Y «поровну» элементов. Построим графы отображений.

Определение. Если каждый элемент множества Y является образом точно одного элемента из X, отображение называют биекцией или взаимно однозначным отображением (соответствием).

Примеры графов таких отображений приведены на рисунках 15 и 16.

П р и м е р. Пусть X – множество пальто в гардеробе, a Y – множество крючков в этом гардеробе. Поставим в соответствие каждому пальто крючок, на котором оно висит.

Если каждое пальто висит на крючке (а не лежит, скажем, на полу), то это соответствие является отображением X в Y. Это отображение – инъекция, если ни на одном крючке не висит более одного пальто (но могут быть свободные крючки), отображение – сюръекция, если все крючки заняты (но на некоторых крючках могут висеть несколько пальто). Наконец, это отображение – биекция (взаимно однозначно), если на каждом крючке висит одно и только одно пальто.

С биекцией связано понятие обратного отображения. Если соответствие R – биекция, обратное соответствие R ^-1 тоже биекция, сопоставляющая с каждым элементом из Y точно один элемент из X так, что если xRy, то yR ^-1 x. Чтобы из графа отображения R получить граф обратного отображения R ^-1, достаточно повернуть все стрелки в противоположную сторону.

Дата добавления: 2015-07-18