Отношения. Их графы и графики

В соответствии, заданном характеристическим свойством «число х больше числа у», и х, и у принадлежат одному и тому же множеству действительных чисел. А в соответствии «треугольник х равен треугольнику у», и х, и у – треугольники. Соответствия, у которых области отправления и прибытия совпадают, играют особую роль во многих вопросах, и поэтому им присвоено особое название: отношения.

Замечание. Иногда вместо термина «отношение» употребляют термин «бинарное отношение», подчеркивая этим, что речь идет об отношении между двумя элементами множества. При этом, поскольку речь идет об элементах одного и того же множества X, говорят не об отношениях между X и Y, а об отношениях в множестве X.

П р и м е р ы.

1) В множестве натуральных чисел N задано отношение R характеристическим свойством «число х делится на число у», х, у Î N.

2) В множестве геометрических фигур можно задать отношение «фигура х равна фигуре у».

Хотя отношение является частным случаем соответствия, любое соответствие между X и Y можно рассматривать как отношение в объединении этих множеств: достаточно взять декартов квадрат этого объединения и выбрать в нем пары (х, у), принадлежащие графику данного соответствия.

Поскольку отношения – частный случай понятия соответствия, то все сказанное о соответствиях переносится на отношения. Но некоторые особенности, выделяющие рассматриваемый частный случай, все же имеются, рассмотрим их.

1. Отношение R ^-1, обратное отношению R в множестве X, само является отношением в том же самом множестве (ведь в этом случае в записи xRy, и х, и у принадлежат X). При этом yR^-1х Û xRy. Например, если в множестве N – натуральных чисел задано отношение «х делится на у», то обратным ему будет отношение «у является делителем х» в том же множестве N.

2. При изображении графами отношений в множестве X элементы этого множества изображают точками лишь один раз, а потом проводят стрелки из х в у, если xRy. При этом не исключается, что стрелка начинается и кончается в одной и той же точке х (такие стрелки называются петлями).

Кроме того, может случиться, что стрелка идет и из х в у, и из у в х (и прямая х çç у, и у çç х). В этом случае будем изображать одну двойную стрелку: х «у.

3. Если некоторое отношение R в X задано графом, то для получения графа обратного отношения надо повернуть все стрелки в обратную сторону, а чтобы получить граф противоположного отношения надо стереть все имеющиеся стрелки и провести все стрелки, которых не было на рисунке (рис. 5).

Рис. 5

4. На любом множестве X можно рассматривать отношения тождества и различия.

Отношение тождества «х º у» задается множеством пар вида (х, х), х Î Х. Иными словами, х º у в том и только в том случае, когда х совпадает с у. Часто вместо х º у отношение тождества обозначают х = у и называют отношением равенства.

Отношение, противоположное отношению тождества, называют отношением различия и обозначают х ≠ у или х ¹ у. График отношения различия состоит из таких пар (х, у), что х и у различны.

Дата добавления: 2015-07-18