Множество всех подмножеств данного множества. Универсальное множество

Любое непустое множество А имеет по крайней мере два подмножества: А и Æ, их называют несобственными подмножествами множества А.

Если А ¹ Æ, то всякий элемент множества А порождает его одноэлементное подмножество, т.е. если , то { а } .

Множество всех подмножеств множества А обозначают Р (А). Рассмотрим пример. Дано множество А = {1, 2, 3}, составим множество всех его подмножеств Р (А)={ Æ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3}}. Таким образом, данное трехэлементное множество А имеет 8 подмножеств.

Заметим, что пустое множество имеет одно подмножество: Æ.

Итак, Р (А) ≠ Æ, для любого множества А. Для каждого множества, состоящего из m элементов, можно образовать 2 ^m подмножеств (доказательство этого предложения будет приведено в § 4 главы III пособия).

Нередко бывает так, что в пределах одной задачи рассматривают подмножества одного и того же множества U. Такое множество U называют универсальным множеством.

Так, если А – множество студентов 1-го курса некоторого института, В – множество студенток того же института, С – множество студентов-спортсменов этого института, то в качестве универсального множества U можно взять множество всех студентов данного института, потому что тогда А U, В U, С U. На диаграммах Эйлера-Венна универсальное множество U часто изображают в виде прямоугольника, а его подмножества – кругами.

В школьном курсе математики универсальным числовым множеством является множество действительных чисел, в планиметрии – множество точек плоскости, в стереометрии – множество точек пространства. Заметим, что понятие универсального множества относительно. В самом деле, на различных этапах изучения математики в школе в качестве универсального выступают числовые множества:
N, Z, Q, R.

Дата добавления: 2015-07-18