Множество и его элементы

Множество является центральным понятием данной главы. Несмотря на то, что это понятие встречается едва ли не в каждом определении, оно само остается без определения. Множество – это одно из неопределяемых математических понятий. Это понятие можно описать или раскрыть его содержание на примерах. Известно описание понятия множества немецким математиком Георгом Кантором (1845–1918). Он говорил, что «множество – есть многое, мыслимое, как единое целое».

Множество можно представить себе как совокупность (собрание, класс) некоторых предметов, объединенных по какому-либо признаку.

С различными множествами человеку приходилось иметь дело в глубокой древности, когда, еще не существовало понятия «число». Часто в повседневной жизни возникала необходимость сравнивать численность различных совокупностей или объекты одной и той же совокупности в различное время. Например, голов скота столько, сколько зарубок на дереве, или с пастбища возвратилось столько голов скота, сколько ушло на пастбище.

Мы сейчас тоже часто используем понятие множество: говоря «стая» представляем множество птиц, «табун» – множество лошадей, «стадо» –множество коров, «отара» – множество овец.

В математике удобно рассматривать геометрическую фигуру как множество точек, обладающих определенными свойствами; решение уравнения или неравенства – как множество значений переменной, удовлетворяющих данному уравнению или неравенству.

Теория множеств занимается изучением общих свойств множеств, не зависящих от природы объектов, образующих эти множества.

Определение. Предметы (объекты), из которых составлено множество, называют элементами множества.

Множества принято обозначать большими латинскими буквами А, В,..., а его элементы малыми латинскими буквами а, в,... или какой-нибудь, одной буквой с индексом, например, а ₁, а ₂, а ₃,.... Если а является элементом множества А, то символически записывают , читают «а принадлежит множеству А» или «а является элементом А». Если а не принадлежит множеству А, то символически записывают .

Само понятие «множество» наводит на мысль, что каждое множество должно содержать много элементов. В повседневной жизни один предмет или совокупность двух предметов обычно не называют множеством. Никто не говорит, что у человека множество рук или ног, хотя говорят о множестве волос на голове или о множестве кровеносных сосудов.

В математике же для общности рассуждений удобно считать множеством совокупность любого числа элементов. Рассматривают множества, содержащие только один элемент (одноэлементное множество), и даже множество, не имеющее ни одного элемента.

Определение. Множество, которое не содержит элементов, называют пустым и обозначают символом Æ.

Множество, число элементов которого может быть выражено некоторым натуральным числом, называется конечным. Например: множество дней недели.

Введение одноэлементных множеств и пустого множества позволяет, например, утверждать, что всякое уравнение имеет множество решений, число элементов последнего множества зависит от вида уравнения и области его задания. Так, для уравнения 15 х – 2 = 0 множество рациональных корней содержит один элемент, для уравнения х + 10 = х – 9 множество решений пусто.

Понятие множества значительно облегчает изучение различных свойств многочисленных объектов в любой отрасли знаний. Невозможно изучить или описать каждое живое существо, обитающее на Земном шаре. Но классификация по признакам, присущим множеству животных того или иного класса, позволяет описать весь животный мир даже в узких рамках учебника зоологии. Невозможно было бы изучить свойства даже плоских фигур, если не выделить свойства, присущие множеству фигур данного типа.

Дата добавления: 2015-07-18