Пересечение множеств

Начнем с задачи. В 3-м классе 35 учеников, из них 20 занимаются в спортивных секциях, 18 – в различных кружках, причем каждый ученик занимается хотя бы одним видом внеклассной работы: спортивным или кружковым. Сколько учеников занимаются одновременно спортом и в кружках?

А В А В Рис. 2

Т.к. 20 + 18 = 38 и 38 > 35, то ясно, что круги А и В (здесь А и В соответственно множества учеников, занимающихся спортом и в кружках) должны налегать друг на друга, т.е. у них должна быть общая часть, которая не пуста.

Решим задачу с помощью диаграммы Эйлера-Венна (рис. 2).

Путем рассуждений устанавливаем, что число учеников, которые занимаются спортом и в кружках, равно 3. Заметим так же, что
(20 + 18) – 35 = 3.

В этой задаче нам встретилось понятие общей части двух множеств. В теории множеств эта общая часть называется пересечением множеств.

Определение. Пересечением множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А и множеству В одновременно и обозначают А В, т.е.

А В = { х | х Î А и х Î В }.

Операция, при помощи которой находят пересечение множеств, называется также пересечением. На диаграмме Эйлера-Венна пересечение множеств А и В изображается заштрихованной областью (рис. 3).

А В

Рис. 3

Вообще, если множества А и В имеют элементы, принадлежащие одновременно А и В, то говорят, что эти множества пересекаются. В том случае, когда множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что их пересечение пусто и пишут: А В = Æ. На диаграмме Эйлера-Венна такие множества изображаются при помощи двух кругов, не имеющих общих точек.

Понятие пересечения двух множеств можно обобщить на любое конечное число множеств.

П р и м е р ы.

1) А = { а, в, с }. В = { в, с, d }, А В = { в, с }.

2) А = { а, в, с }, В = { в, с, d }, С = { к, l, в }, А В С = { в }.

3) Если А Í В Í С, то А В С = А.

Рассмотрим свойства операции пересечения множеств.

Для любых множеств А, В, С:

1°. А Æ = Æ;

2°. А А = А;

3°. А В = В А – коммутативность пересечения;

4°. А (В С) = (А В) С = А В С – ассоциативность пересечения;

5°. А В <=> А В = А;

6°. А U = А (U – универсальное множество).

Свойства 1°-4° вытекают из определения пересечения множеств.

Доказательство свойства 5°.

Если А В, тогда все элементы множества А являются элементами множеств В, а это означает (по определению) А В = А.

Докажем теперь А В = А => А В.

Возьмем любой элемент а А и проверим, что а В. Тем самым докажем А В (по определению отношения ).

Итак, пусть а Î А, тогда в силу А В = А получаем а Î А В, а это означает, по определению пересечения, что а Î В. Утверждение доказано.

Доказательство свойства 6° следует из свойства 5° и определения универсального множества U.

Дата добавления: 2015-07-18