Объединение множеств

Определение. Объединением множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В.

В определении есть слова «принадлежащие хотя бы одному». Математики договорились заменять это словосочетание более кратким «А или В». Заметим, что союз «или» употребляется в неразделительном смысле в отличие от обыденной жизни.

Объединение обозначается A В, т.е.

A В = { х | х Î А или х Î В }.

Операция, при помощи которой находят объединение множеств, называется также объединением.

На диаграмме Эйлера-Венна объединение множеств A и В изображается заштрихованной областью (рис. 4).

Понятие объединения двух множеств можно обобщить на любое конечное число множеств.

Рис. 4

П р и м е р ы.

1) А = {1, 2, 3}, В = {2, 3, 4}, А В = {1, 2, 3, 4}.

2) А = {1, 2, 3}, В = { а, в, с, d }, А B = {1, 2, 3, а, в, с, d }.

3) А = {1, 2, 3}, В = {1, 2, 3, 4, 5}, А В = В = {1, 2, 3, 4, 5}.

4) A = {1, 2, 3}, В = {2, 3, 4}, С = { 3, 4, 5},

A В С = {1, 2, 3, 4, 5}.

Рассмотрим свойства операции объединения множеств. Для любых множеств А, В, С:

1°. А Æ = А;

2°. А А = А;

3°. A В = В A – коммутативность объединения;

4°. А (В С) = (А В) С = А В С – ассоциативность объединения;

5°. A Í В <=> A В = В – закон поглощения;

6°. A U = U.

Свойства 1°-3° вытекают из определения объединения множеств.

Доказательство свойства 4°.

Пусть х Î А (В С), т.е. х принадлежит хотя бы одному из множеств А или В С. Если х Î A, то х Î А В С, если
х Î В С, то х Î В или х Î С. В любом случае х Î А В С.

Аналогично доказывается обратное включение.

Доказательство свойства 5°.

A Í В => A В = В очевидно. Пусть теперь А В = В, докажем А Í В.

Пусть х Î А, тогда х Î A В по определению объединения. Поскольку, А В = В, то х Î В. Значит, А Í В по определению включения.

Доказательство свойства 6° следует из свойства 5° и определения универсального множества U.

Все перечисленные выше свойства объединения можно проиллюстрировать на диаграмме Эйлера-Венна.

Замечание. Если над множествами производятся операции пересечения и объединения и в записи выражения отсутствуют скобки, то сначала выполняют операцию пересечения, а затем операцию объединения.

Дата добавления: 2015-07-18