Вычитание множеств. Дополнение множества

Определение. Разностью множеств А и В называют множество всех элементов, принадлежащих множеству А и не принадлежащих множеству В.

Разность множеств обозначается А \ В, т.е.

А \ В = { х | х Î А и х Ï В }.

А \ В читают «А без В».

На диаграмме Эйлера-Венна А \ В изображено заштрихованной областью (рис. 7). Заметим, что А \ В = А \ (А В).

Операция, при помощи которой находят разность множеств, называют вычитанием.

Рис. 7

П р и м е р ы.

1) А = { а, в, с, d }, В = { а, в, с }, А \ В = { d }.

2) А = { а, в, с, d }, В = { k, m, n }, А \ В = { а, в, с, d }, и, вообще,
А \ В = А, если А В = Æ.

3) А = { а, в, с, d }, В = { а, в, с, d, f }, А \ В = Æ, и вообще, если А Í В, то А \ В = Æ.

В дальнейшем нам понадобится особый вид разности – разности между универсальным множеством и данным.

Определение. Разность между универсальным множеством U и множеством А называют дополнением множества А и обозначают .

Итак, по определению = U \ А.

На диаграмме Эйлера-Венна дополнение множества изображается заштрихованной областью (рис. 8).

Рис. 8

Справедливо следующее предложение, позволяющее выразить разность множеств А и В через пересечение и дополнение.

Имеет место следующее утверждение.

А \ В = А .

Доказательство. По определению разности х Î А \ В, когда х Î А и х Ï В. Но утверждение х Ï В равносильно утверждению х Î . Значит, утверждение х Î А и х Ï В равносильно утверждению
х Î А . Что и требовалось доказать.

Дата добавления: 2015-07-18