Вычитание и деление положительных действительных чисел

Определение. Разностью двух положительных действительных чисел а и в (а > в) называют такое число с, которое в сумме с в дает а. Другими словами, разность с определяется как корень уравнения
в + с = а. Это уравнение в R₊ имеет единственный корень при а > в. Обозначают разность а – в.

Покажем, например, как могут быть найдены приближенные рациональные значения разности – . Заменив в этом выражении число его любым десятичным приближением по недостатку, а число его любым десятичным приближением по избытку, мы получим, очевидно, приближенное рациональное значение разности – по недостатку, и наоборот, если в выражении – число заменить его любым десятичным приближением по избытку, а число его любым десятичным приближением по недостатку, то полученная разность будет, очевидно, представлять собой приближенное значение – по избытку.

1,41421 £ < 1,41422; 0,33333 £ < 0,33334.

1,41421 – 0,33334 £ – < 1,41422 – 0,33333,

т.е. 1,08087 £ – < 1,08089; значит, – =1,0808....

Определение. Частным от деления положительного действительного числа а на положительное действительное число в называют такое число с, которое при умножении на в дает число а.

Другими словами, частное с определяется как корень уравнения в × с = а. В R ₊ это уравнение имеет единственный корень. Обозначают частное а: в.

Покажем, например, как могут быть найдены приближенные значения частного а: в, если а = 1,532..., в = 2,037...

Если в выражении а: в число а заменить его любым десятичным приближением по недостатку, а число в – его любым десятичным приближением по избытку, то полученное частное будет, очевидно, представлять собой приближенное значение а: в по недостатку. Наоборот, если в выражении а: в число а заменить любым его десятичным приближением по избытку, а число в – любым его десятичным приближением по недостатку, то полученное частное будет служить, очевидно, приближенным значением а: в по избытку.

В частности: 1,532: 2,038 £ а: в < 1,533: 2,037

0,7516 £ а: в < 0,7526 а: в = 0,75....

§ 6. Аксиоматическое построение R ₊

Мы назвали выше положительными действительными числами такие числа, которые могут быть записаны в виде бесконечных десятичных дробей. Однако, строго говоря, бесконечные десятичные дроби являются лишь формой записи действительных чисел.

Чтобы не связывать понятие положительных действительных чисел с формой записи чисел, надо сформулировать аксиомы, которым они удовлетворяют.

При построении аксиоматики множества R ₊ в качестве основных (первичных) понятий, которые не определяются, возьмем число 1 и операцию сложения. Выделим первичные утверждения – аксиомы, которые кладутся в основу этого построения:

Аксиома 1. Множество R ₊ содержит все числа N, т.е. N Ì R ₊.

Аксиома 2. Операция сложения ставит в соответствие любым двум числам а и в из R ₊ число а + в того же множества. Число а + в называется суммой, а числа а и в называются слагаемыми. На N сложение совпадает со сложением натуральных чисел.

Аксиома 3. Операция сложения в R ₊ коммутативна:

(" а, в Î R ₊) [ а + в = в + а ].

Аксиома 4. Операция сложения в R ₊ ассоциативна:

(" а, в, с Î R ₊) [(а + в) + с = а + (в + с)].

Аксиома 5. В множестве R ₊ нет элемента, нейтрального относительно сложения, т.е. (" а, в Î R ₊) [ а + в ≠ а, а + в ≠ в ].

Аксиома 6. Если (а, в Î R ₊), причем а ≠ в, то найдется такое
с Î R ₊, что или а = в + с или в = а + с.

Аксиома 7. (" а Î R ₊) (" n Î N) ($! в Î R ₊) .

Аксиома 8. Если числовое множество Х лежит слева от числового множества Y, то (" x Î X) (" y Î Y) ($ a Î R ₊) [ x £ a £ y ].

С помощью изложенной системы аксиом можно доказать, что любое число х Î R ₊ представимо в виде бесконечной десятичной дроби, определить операцию сложения в R ₊ и т.д. Мы не будем останавливаться на этих вопросах.

Дата добавления: 2015-07-18