Преобразование обыкновенных дробей в десятичные

Выясним, при каком условии обыкновенная дробь может быть записана в виде десятичной дроби. Среди эквивалентных дробей выберем ту, числитель и знаменатель которой взаимно просты, такая дробь называется несократимой.

Например: – несократимые дроби.

Теорема. Обыкновенная несократимая дробь тогда и только тогда может быть записана в виде конечной десятичной дроби, когда каноническое разложение знаменателя имеет вид 2^a · 5^b.

Доказательство. Достаточность. Пусть n = 2 ^a · 5 ^b и пусть a ³ b. Тогда, умножая числитель и знаменатель данной дроби на 5 ^a-b, получим = = = = , т.е. обыкновенная дробь может быть записана в виде десятичной дроби с a десятичными знаками.

Необходимость. Пусть несократимая дробь может быть записана в виде , т.е. = .

Докажем, что знаменатель n не имеет простых множителей, отличных от 2 и 5.

По условию = , т.е. 10^a × m = e × n, но из этого следует 10^a× m n, а так как по условию теоремы дробь несократимая, следует, что 10^a n. Но в разложение 10^a на простые множители входят лишь 2 и 5, а потому и в разложение п будут входить только эти множители, т.е. n не может иметь простых множителей отличных от 2 и 5.

Из доказанной теоремы вытекает, что если знаменатель обыкновенной несократимой дроби делится хотя бы на одно простое число, отличное от 2 и 5, то эта дробь не представима в виде конечной десятичной дроби. Например, дробь не представима в виде конечной десятичной.

§ 11. Способы преобразования обыкновенных дробей
в десятичные

Нам известно, что не всякая обыкновенная дробь может быть представлена в виде конечной десятичной дроби, а лишь такая, в каноническое разложение знаменателя которой входят только 2 и 5.

Рассмотрим способы преобразования обыкновенной дроби в конечную десятичную, когда это возможно.

Существует два способа преобразования обыкновенной дроби в конечную десятичную дробь: способ умножения и способ деления. Сначала рассмотрим оба способа на одних и тех же примерах.

Выразим в виде конечной десятичной дроби следующие обыкновенные дроби: , , .

I.Способ умножения:

1) = = = = 0,24;

2) = = = = 0,875;

3) = = = = = 1,10625.

II. Способ деления.

1) 6 25 2) 7 8 3) 177 60

0,24 0,875 1,10625

Таким образом, приходим к следующему выводу. Чтобы выразить несократимую дробь в виде десятичной (если это возможно), поступают следующим образом:

I. По способу умножения. Выделяют целую часть, если дробь больше единицы; разлагают знаменатель на произведение простых множителей; умножают числитель и знаменатель на недостающие до одинакового количества «двоек» (или «пятерок»).

II. По способу деления. Последовательно делят числитель на знаменатель раздробляя каждый остаток на 10 и делят до тех пор, пока остаток не станет равным нулю. В самом деле .

Дата добавления: 2015-07-18