Некоторые теоремы, предшествующие основной теореме арифметики

Теорема 1. Всякое общее кратное К двух данных натуральных чисел делится на их наименьшее общее кратное к, т.е.

(К =ОК(а, в), к = НОК (а, в))Þ(К к).

Доказательство (от противного). Допустим, что какое-нибудь натуральное общее кратное К данных чисел а и в неделится на их наименьшее общее кратное (НОК) к, тогда имеем К = кq + r, 0 ≤ r < к. В этом равенстве:

К а Ù К в, т.к. К = ОК (а, в).

к а Ù к в, т.к. к = НОК (а, в). Значит, r = К – kq делится, и на а, и на в, т.е. r = ОК(а, в), но т.к. r < к, то мы нашли общее кратное меньшее к. Полученное противоречие доказывает неправильность сделанного допущения о том, что К не делится на к. То есть К к.

Доказательство теоремы легко распространяется на случай, когда заданы кратные и НОК нескольких (более двух) чисел.

Заметим, что 0 тоже является общим кратным данных чисел.

Теорема 2. Наименьшее общее кратное к двух взаимно простых чисел а и в равно произведению этих чисел, т.е.

(к = НОК (а, в) Ù НОД (а, в) = 1) Þ к = а · в.

Доказательство. Т.к. по свойству делимости произведения

(а · в) а Ù (а · в) в, то а · в = ОК (а, в), (а · в) к (по теореме 1).

Предположим, что (а · в): к = t, тогда ав = к · t, где t – натуральное число Þ а = кt: в на основании зависимости между произведением и множителем. По свойству деления произведения а = (к: в) · t. Получим а t. Точно также в = (к · t): а = (к: а) · t Þ в t. Получили, что t – общий натуральный делитель чисел а и в. Но по условию теоремы числа а и в взаимно простые, т.е. t = 1. Тогда получим а · в =
= к · 1, т.е. к = а · в или НОК (а, в) = а · в.

Следствие. Если натуральное число К делится на каждое из двух взаимно простых чисел а и в, то оно делится и на произведение а · в этих чисел, т.е. (К а Ù К в Ù НОД (а, в) = 1)Þ К (а · в).

Доказательство.

(К а Ù К в Þ К = ОК(а, в) – по определению общего кратного.

К НОК (а, в) Þ К (а · в), ведь НОК (а, в) = а · в.

Например, число К, делящееся на 2 и 3, делится на 6; а число К, делящееся на 3 и 4, делится на 12.

На основе этого следствия можно сформулировать достаточный признак делимости чисел на составное число. Для того, чтобы число к делилось на составное число n = а · в, где а и в взаимно простые, достаточно, чтобы к а и к в.

Легко установить и необходимость этого признака.

П р и м е р ы. 1548 18? 1548 2 Ù 1548 9, НОД (2, 9) = 1 Þ
Þ 1548 18.

2724 12? 2724 3 Ù 2724 4, НОД (3, 4) = 1, значит 2724 12.

Теорема 3. (Основное свойство взаимно простых чисел).

Если произведение а · в двух натуральных чисел а и в делится на третье число с и один из множителей, например а взаимно прост с с, то в с, т.е. (ав с Ù НОД (а, с) = 1) Þ в с.

Доказательство. ав с по условию, ав а по свойству делимости произведения, значит ав = ОК (а, с) по определению общего кратного.

По теореме 1 (§ 9) ав НОК (а, с), т.е. ав ас, значит

ав = асt Þ в = с · t Þ в с. Что и требовалось доказать.

Теорема 4. Если натуральное число а не делится на простое число p, то а и р – взаимно простые.

Доказательство. Натуральные делители числа р – это 1 и р. Поэтому общими делителями чисел а и р могут быть числа 1 и p. Но по условию, а не делится на р, значит НОД (а, р) = 1.

Эта теорема показывает, что если p – простое число и а – любое натуральное число, то возможно одно из двух или а р или НОД (а, р) = 1, т.е. а и р взаимно простые.

Теорема 5. Если произведение ав двух натуральных чисел а и в делится на простое число р, то по кранной мере один из множителей произведения ав делится на p.

Доказательство. Если а р, то теорема доказана. Если а p, то а и р взаимно простые. Тогда по теореме 3 в р.

Точно также, если в р, то а р. Что и требовалось доказать.

Доказательство теоремы легко распространяется на случай произведения нескольких (более двух) множителей.

Теорема 6. Если простое число р делится на простое число q, то р = q.

Доказательство. р имеет два делителя 1 и р, по условию теоремы есть еще делитель q, но q ≠ 1, т.к. q – простое. Следовательно, р = q. Что и требовалось доказать.

Дата добавления: 2015-07-18