Признаки делимости в других позиционных системах счисления

Приведем некоторые признаки делимости в других, отличных от десятичной, позиционных системах счисления.

Пусть основание системы счисления равно р.

Если р а, то все числа вида р ², р ³,..., рⁿ делятся на а, тогда и сумма а_nрⁿ + а_{n -1} р^{n -1} +... + а₁р делится на а. Поэтому, если р делится на а и число х имеет в системе счисления с основанием р запись

х = а_nрⁿ +... + а ₁ р + а₀,то х a Û а ₀ a.

Например, в двенадцатиричной системе счисления число делится на 3 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 0, 3, 6 или 9. Признак вытекает из того, что 12 3. Точно также

х ₁₂ 4 Û а ₀ 4, х ₁₂ 6 Û а ₀ 6.

Пусть снова р есть основание системы счисления. Приведем признак делимости числа х на (р – 1).Предварительно заметим, что

pⁿ – 1 = (p – 1)(p^{n- 1} + p^{n- 2} + … + 1).

В частности, p ² – 1 = (p – 1)(p + 1),

p ³ – 1 = (p – 1)(p² + p + 1),

p ⁴ – 1 = (p – 1)(p ³ + p ² + p + 1).

Запишем число x таким образом:

.

Первая сумма A делится на число p – 1 и его делители (по сделанному выше замечанию), потому делимость числа x зависит от суммы B.

.

Например, в двенадцатеричной системе счисления число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 11.

П р и м е р. Дано число 675120₈. Делится ли оно на 7? Для ответа на вопрос найдём сумму цифр 6 + 7 + 5 + 1 + 2 + 0 = 25₈. 25₈ : 7 = 3.

Значит, 675120₈ 7.

Дата добавления: 2015-07-18