Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Теоретико-множественное истолкование умножения

Читайте также:
  1. Документ 11.12. Любовь и истолкование улыбки
  2. ИСТОЛКОВАНИЕ БОЖЕСТВЕННОЙ ИНФОРМАЦИИ
  3. Истолкование предельных размеров.
  4. Метафизическое истолкование понятия временя
  5. Метафизическое истолкование этого понятия
  6. ПРОРОЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ: ОТКРОВЕНИЕ, ИСТОЛКОВАНИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ
  7. Теоретико-множественное истолкование деления и деления с остатком

В § 6 главы VI дано аксиоматическое определение умножения целых неотрицательных чисел.

В начальной школе используется подход к определению умножения, основанный на понятии суммы одинаковых слагаемых.

Теорема 1. Если в > 1, то произведение чисел а и в равно сумме в слагаемых, каждое из которых равно а.

Доказательство. Обозначим сумму в слагаемых, каждое из которых равно а, через а · в и, кроме того, положим, что а · 1 = а. Тогда, по определению суммы, имеем:

.

Значит, операция а · в подчиняется тем же требованиям, что и операция умножения, определенная ранее (см. § 6 главы VI), а именно а · 1 = а и а · (в +1) = а · в + а. В силу единственности умножения получаем, что а · в = в · а.

Таким образом, если а и в – целые неотрицательные числа, то

а) а · в = при в > 1;

б) a · 1 = а при в = 1;

в) a · 0 = 0 при в = 0.

Для вывода законов умножения целых неотрицательных чисел удобнее другое теоретико-множественное истолкование произведения. Оно связано с декартовым произведением множеств. Рассмотрим сначала следующий пример. Найдем декартово произведение множеств А = { а, в, с } и В = { х, у }. Оно состоит из пар, которые мы запишем в виде прямоугольной таблицы.

(а, х), (а, у),

(в, х), (в, у),

(с, х), (с, у).

В каждой строке таблицы все пары имеют одинаковый первый элемент, а в каждом столбце – одинаковый второй элемент. При этом никакие две строки не имеют хотя бы одной одинаковой пары. Отсюда следует, что число элементов таблицы равно 2 + 2 + 2 = 6. С другой стороны n (А) = 3, n (В) = 2, 3 · 2 = 6. На этом примере видим, что число элементов в декартовом произведении двух конечных множеств равно произведению чисел элементов в этих множествах.

Теорема 2. Пусть А и В – конечные множества. Тогда их декартово произведение также является конечным множеством, причем выполняется равенство n (А × В) = n (А) · n (В).

Доказательство. Пусть А = { а 1, а 2,..., аq }, В = { в l, в 2, в 3,..., вk }, причем k > l. Составим декартово произведение А × В и запишем в виде таблицы:

(а 1, в l), (а 1, в 2), (а 1, в 3),..., (а 1, в k),

(а 2, в 1), (а 2, в 2), (а 2, в 3),..., (а 2, в k)

… … … … …

(аq, в 1), (аq, в 2), (аq, в 3),..., (аq, вk).

Число элементов в первой строке равно k, т.к. это элементы вида (a 1, вi), где 1 ≤ ik и т.д. в строке с номером q число элементов равно k. Всего элементов в таблице.

Сумма q слагаемых, каждое из которых равно k, это есть k · q. Итак, n (А × В) = k · q = n (А) · n (В). При k = 1, множество В содержит один элемент и число элементов декартова произведения равно q · 1 = q.

При k = 0 В = Æ, тогда q · 0 = 0.

Свойства умножения:

1°. Коммутативность. (" a, в Î N 0)[ a · в = в · а ].
Так как А × В ~ В × А, то n (А × В) = n (В × А).

2°. Ассоциативность. (" a, в, с Î N 0) [(a · в) · с = а · (в · с)].

Так как (А × В) × С ~ А × (В × С) Þ n ((А × В) × С) = n (А × (В × С)).

3°. Дистрибутивность относительно сложения.
(" a, в, с Î N 0) [(а + в) · с = а · с + в · с ].

Так как (A B) × C ~ (A × C) (B × C), то

n ((A B) × C) = n ((A × C) (B × C)).


Дата добавления: 2015-07-18; просмотров: 178 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Математические доказательства | Правильные умозаключения | Определение алгоритма | Алгоритмический язык | Понятие об аксиоматическом методе построения теории | Аксиомы Пеано. Аксиоматическое определение целых неотрицательных чисел | Деление с остатком | Понятие целого неотрицательного числа | Сравнение целых неотрицательных чисел | Сложение целых неотрицательных чисел |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Вычитание целых неотрицательных чисел| Теоретико-множественное истолкование деления и деления с остатком

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)