Аксиомы Пеано. Аксиоматическое определение целых неотрицательных чисел

Аксиоматическое построение системы натуральных чисел было проведено итальянским математиком Джузеппе Пеано[6] (конец XIX в). Мы сформулируем аксиомы Пеано для расширенного нулем натурального ряда, т.е. для множества N ₀ = {0, 1, 2, 3,... } целых неотрицательных чисел.

За основное исходное понятие при построении аксиоматической теории принимают отношение: «число в непосредственно следует за числом а», которое обозначается в = , а также понятия «нуль», «натуральное число».

За основные свойства этих понятий принимают следующие аксиомы, обозначенные ниже (А1), (А2), (A3), (А4):

(А1). Множество N ₀ содержит целое неотрицательное число 0, которое не следует ни за каким целым неотрицательным числом.

Символически (А1) запишется так:

N ₀) [ а ' = 0].

(А2). Для любого целого неотрицательного числа существует одно и только одно непосредственно следующее за ним натуральное число.

Символически (А ₂) запишется так:

(" a Î N ₀) ($! в Î N) [ в = а '].

(A3). Для любого целого неотрицательного числа а, отличного от 0, существует единственное целое неотрицательное число, за которым непосредственно следует а. Символически (A3) запишется так:

(" a Î N ₀, a ¹ 0) ($! в Î N ₀) [ в ¢ = а ].

(А4). (Аксиома индукции). Если подмножество М множества N ₀ содержит 0 и вместе с каждым числом а содержит непосредственно следующее за ним число а ', то подмножество М совпадает со всем множеством N ₀. Символически (А4) запишется так:

(0Î М Ù (" a) [ а Î М Þ а ' Î М ]) Þ М = N ₀.

Аксиомы (А1-A3) показывают, что в множестве есть самое первое число («начальный» элемент), а именно 0 и что в нем целые неотрицательные числа идут одно за другим. Аксиома (А4) исключает возможность появления «лишних» элементов в заданном множестве.

Нам известна графическая трактовка отношений (Гл. II § 2): если aRв, т.е. если элементы а и в находятся в отношении R, то на графе это обозначается следующим образом а → в. Такая же трактовка на графах и для отношения «непосредственно следовать за». Аксиомы Пеано выделяют из всего многообразия «цепочек» – «цепочки» только одного вида:

Принципиально другой модели для приведенной системы аксиом предложить нельзя. Таким образом, мы сформулировали аксиоматическую теорию N ₀.

Дата добавления: 2015-07-18