Теорема, противоположная данной

Заменим в теореме (1) (" x Î Х) [ А (х) Þ В (х)] условие и заключение их отрицаниями, получим новое предложение (3):
(" x Î Х)[ ], которое называется противоположным данной теореме. Пусть, например, на множестве N всех натуральных чисел заданы предикаты: А (х): «Десятичная запись числа х оканчивается нулем» и В (х): «Число х делится на 5». Тогда словесная формулировка теоремы (1) прозвучит так: «Если десятичная запись натурального числа оканчивается нулем, то оно делится на 5», а предложение (3) – так: «Если десятичная запись натурального числа не оканчивается нулем, то оно не делится на 5». В данном примере теорема (1) – истинна, предложение (3) – ложно (например: 15, 25 и т.д.). Бывает, что обе теоремы (1) и (3) истинны (рассмотрите самостоятельно такой случай).

Предложение вида (4) (" x Î Х)[ ] называют противоположным предложению (2) (см. (2) в § 16 этой главы).

В нашем примере словесная формулировка теоремы вида (4) будет такой: «Если натуральное число не делится на 5, то его десятичная запись не оканчивается нулем».

Нетрудно заметить, что теоремы (1) и (4) равносильны, теоремы (2) и (3) равносильны (таблицы 12 и 13 в § 9 этой главы). Этот факт лежит в основе доказательства методом контрапозиции, суть которого заключается в следующем. Чтобы доказать истинность теоремы
(" x Î Х) [ А (х) Þ В (х)] доказывают истинность теоремы противоположной обратной, т.е. теорему (" х Î Х) [ ], поскольку, если теорема (4) – истинна, то теорема (1) тоже истинна.

Докажем методом контрапозиции теорему: «Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой». Условием данной теоремы является предикат: «Прямые х и у параллельны прямой с», а заключением теоремы – предикат: «Прямые х и у параллельны».

Предположим, что заключение теоремы ложно, т.е. что прямые х и у не параллельны и пересекаются, например, в точке М. Но тогда по аксиоме параллельности прямые х и у не могут оказаться одновременно параллельными прямой с. Таким образом, из того, что прямая х не параллельна прямой у, следует, что прямые х и у не параллельны одновременно прямой с, т.е. истинна теорема, противоположная обратной. Следовательно, и данная теорема истинна.

Дата добавления: 2015-07-18