Одноместные предикаты

Определение. Предложение с переменной х, где х Î Х, называют одноместным предикатом или одноместной высказывательной формой, если при подстановке любого значения х Î Х получается высказывание. Одноместные предикаты обозначают символами А (х), х Î Х; В (х), х Î Х и т.д.

X – это множество значений, которые может принимать переменная х, его называют областью определения предиката. Каждый предикат А (х), х Î Х определяет подмножество Т Í Х, состоящее из элементов, при подстановке которых в А (х) вместо х получается истинное высказывание. Это подмножество называется множеством истинности предиката. Например, предложение «х – простое число», заданное на множестве N – натуральных чисел, является высказывательной формой. При подстановке вместо х числа 3 получается истинное высказывание: «3 – простое число». При подстановке вместо х числа 10 – ложное высказывание: «10 – простое число». Высказывательная форма порождает множество высказываний одной и той же формы. Множеством истинности заданного предиката является множество всех простых чисел.

Одноместный предикат является ни чем иным, как характеристическим свойством, позволяющим выделить из области определения этого предиката подмножество истинности Т.

Пусть предикат А (х): «Город х – столица Башкортостана» задан на множестве X – городов Башкортостана. Ясно, что А (х) определяет характеристическое свойство: быть столицей Башкортостана.

Область истинности Т = { х | А (х)} = {Уфа}. Предикат разбивает область определения на два подмножества, на одном из которых он принимает истинные значения, а на другом – ложные.

Замечание. Переменная в предикате может содержаться неявно. Например, предложение «диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны» является предикатом, хотя в него явно не входит переменная, а лишь подразумевается. Если параллелограмм, о котором говорится в предикате, является ромбом, то получим истинное высказывание. Ясно, что множеством истинности (Т) этого предиката является множество ромбов.

Предикаты, заданные на конечных множествах, можно задавать таблицами, в первой строке которых указывается элемент множества, а во второй – истинность или ложность высказывания, получаемого из предиката, если заменить переменную этим элементом. Например, предикат x + 24 > 40, заданный на множестве X = {14, 15, 16, 17, 18, 19}, можно задать таблицей (табл. 16).

Таблица 16

х
x + 24 > 40	Л	Л	Л	И	И	И

Может случиться, что два предиката А (х) и В (х), заданные на одном и том же множестве X имеют одинаковые множества истинности. Такие предикаты называются эквивалентными. Их обозначают так: А (х) ~ В (х).

П р и м е р ы эквивалентных предикатов:

1) А (х): х + 15 = 25, x Î R и В (х): 5 х = 50, x Î R.

2) А (х): «натуральное число х делится на 5» и В (х): «натуральное число х оканчивается 0 или 5».

3) А (х): 2 х + 2 > 10, х Î R и В (х): х + 1 > 5, x Î R.

Дата добавления: 2015-07-18