Отрицание высказываний

В обыденной речи мы часто пользуемся словом «не» и словами «неверно, что», когда хотим что-то отрицать. Например, если мы хотим отрицать, что «точка X лежит на прямой х», мы говорим «точка X не лежит на прямой х» или «неверно, что точка X лежит на прямой х». Нетрудно заметить, что значения истинности данного высказывания и полученного находятся в определенной связи. Если данное высказывание истинно, то полученное – ложно и наоборот.

Определение. Отрицанием некоторого высказывания А называют такое высказывание, которое истинно, когда А ложно, и ложно, когда А истинно. Обозначают символом , читается «не А».

Из приведенных выше примеров ясно, что отрицание некоторого высказывания А можно получить, если перед данным высказыванием поставить слова «неверно, что» или перед сказуемым поставить частицу «не».

Таблица истинности для имеет вид (табл. 6):

Таблица 6

А
И	Л
Л	И

П р и м е р ы.

1) А – «18 четное число», – «18 – не является четным числом».

2) А – «Иванов не сдал экзамен», – «Иванов сдал экзамен».

Так как отрицание А есть некоторое высказывание , то можно образовать отрицание высказывания , его обозначают и называют двойным отрицанием высказывания А. Составим таблицу истинности для (табл. 7).

Таблица 7

А
И	Л	И
Л	И	Л

Из таблицы видно, что = А.

П р и м е р: А – «18 – четное число», – «18 – не является нечетным числом».

Образуем конъюнкцию высказывания А и и составим для нее таблицу истинности (табл. 8).

Таблица 8

Видим, что формула А Ù тождественно ложна. Равенство А Ù = Л означает, что высказывание вида «А и не А» всегда ложно, какое бы ни было высказывание А.

Этот закон А Ù = Л называют законом противоречия.

Не могут быть одновременно истинными две противоположные мысли об одном и том же предмете, взятом в одно и тоже время и в одном и том же отношении.

Образуем теперь дизъюнкцию некоторого высказывания А и его отрицания и составим для нее таблицу истинности (табл. 9).

Таблица 9

А
И	Л	И
Л	И	И

В этом случае говорят, что формула А Ú тождественно истинна.

Закон А Ú = И называют законом исключенного третьего. Выполняется хотя бы одно из высказываний А или . В математике такая дизъюнкция часто встречается при разборе каких-то взаимоисключающих друг друга случаев.

Операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания связаны следующими соотношениями, справедливость которых можно установить при помощи таблиц истинности (докажите самостоятельно):

а) = ; б) = .

Эти соотношения называют законами де Моргана.

Дата добавления: 2015-07-18