Эквивалентные множества

Определение. Если существует (хотя бы одно) биективное отображение между множествами X и Y, то говорят, что множество X эквивалентно множеству Y.

Обозначают: Х ~ Y.

Покажем, что отношение эквивалентности множеств обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. То есть докажем следующие 3 утверждения:

1) для любого множества X имеем Х ~ Х;

2) для любых двух множеств X и Y, если X ~ Y, то Y ~ X;

3) для любых трех множеств X, Y, Z, если X ~ Y и Y ~ Z, то X ~ Z.

Чтобы доказать первое утверждение, достаточно поставить в соответствие каждому элементу х Î Х тот же самый элемент х. Такое соответствие называется тождественным отображением.

Докажем теперь второе утверждение. Отношение X ~ Y означает, что существует биективное отображение между элементами этих множеств. Рассмотрим обратное отображение между множествами Y и X, оно тоже будет биективным. Значит, Y ~ X.

Наконец, докажем утверждение 3. Действительно, отношение
Х ~ Y означает, что существует биективное отображение R: X ® Y, а отношение Y ~ Z означает, что существует отображение Q: Y ® Z. Построим отображение F: X ® Z следующим образом: с каждым элементом х Î Х сопоставим элемент z Î Z так, что если у = R (x), то z = Q (y). Это означает, что F (x) = Q (R (x)). Отображение F называется суперпозицией отображения R и Q, обозначается также F = Q R. Совершенно очевидно, что F – биективное отображение. Следовательно, X ~ Z.

Поскольку отношение Х ~ Y является эквивалентностью, совокупность всех множеств разбивается на классы эквивалентных друг другу множеств. Два конечных множества попадут в один класс, когда они имеют одинаковое число элементов. Это позволяет определить натуральное число как общее свойство, которым обладает класс эквивалентных друг другу конечных множеств.

Дата добавления: 2015-07-18