Геометрическая интерпретация множества целых чисел

Возьмем на прямой произвольную точку О и назовем ее начальной точкой, она разбивает прямую на два луча: Оh и Оh ', затем возьмем какой-нибудь отрезок e и будем откладывать на луче Оh равные ему отрезки ОA ₁, А₁А₂,..., А_n , ..., при этом каждой точке А_n поставим в соответствие «число + n», где п – натуральное число, а знак «+» служит указателем того, что точка A_n расположена справа от начальной точки О. «Число + n» называется абсциссой точки А_n. Отразим теперь луч Оh относительно точки О, получим Оh' и на нем последовательность точек: А'₁, А'₂, А'₃,..., A'_n, ,..., симметричных соответственно точкам: А₁, А₂, А₃,..., А_n, ,..., т.е. такие точки, что
ОА'₁ = ОA₁, ОA'₂ = ОA₂ и т.д.

Каждой точке А'_n поставим в соответствие «число – n», где п – натуральное число, а знак «–» служит указателем того, что точка А'_n расположена слева от точки О. Начальной точке О поставим в соответствие в качестве абсциссы число 0 (построение этой прямой выполните самостоятельно).

Построив числовую прямую, где Оh – положительный луч, Оh' -отрицательный луч, точка О – начало числовой прямой, можно видеть, что между множеством точек прямой М = {..., ,... } и множеством целых чисел Z установлено взаимно однозначное соответствие по правилу: + п «А_n, 0 «О, – п «А_n'. Значит, множество М (точек числовой прямой) равномощно множеству Z (целых чисел) и является бесконечным, упорядоченным, дискретным.

§ 5. Целые числа (теоретико-множественный подход)

Натуральное число, будучи характеристикой равномощных конечных множеств, может служить в то же время и характеристикой увеличения численности множества. Например, если мы имели конечное множество A (число элементов множества A обозначается п (А))и перешли к более широкому множеству B (число элементов множества В обозначается п (В)) (где п (А) < п (В)), то этот переход, характеризуется натуральным числом с = п (В) – п (А). Подобно этому и число 0 можно рассматривать не только как характеристику пустого множества (0 = п (Æ)), но и как характеристику отсутствия изменения численности множества, т.к. если п (А) = п (В); то п (В) – п (А) = 0.

Наряду с увеличением численности множества встречаются случаи ее уменьшения, тогда для выражения изменения численности множества недостаточно множества натуральных чисел. Для этого вводят отрицательные числа.

Определение. Целым отрицательным числом называется число, характеризующее уменьшение численности любого конечного множества А, на с элементов, т.е. замену этого множества А другим множеством В так, что: п (А) – п (В) = с, где п (А) > с.

Обозначаются целые отрицательные числа: –1, –2, –3,....

Таким образом, целое число можно определить как инвариант класса равномощных изменений численности конечных множеств. Причем изменения численности будут различаться по:

а) направлению (увеличение, уменьшение) мощности,

б) величине мощности.

Определение. Суммой двух данных целых чисел а и в называется целое число с, выражающее такое изменение численности множества, которое равносильно двум последовательно произведенным ее изменениям, выраженным числами а и в.

Причем разность определяется так:

с = а – в Û а = в + с.

Определение. Произведением целых чисел а и в называется целое число, обозначаемое как ав и определяемое формулами:

а) а · 0 = 0;

б) а · 1 = а;

в) если в > 1, то а · в = ;

г) если в < 0, то а · в = – а · | в |.

Замечание. Здесь | в | – это модуль числа в.

Частное определяется так:

с = а: в Û а = в · с, причём в ≠ 0.

§ 6. Рациональные числа (теоретико-множественный подход)

Рассмотрим сначала теоретико-множественный подход к положительным рациональным числам.

Задача разбиения конечного множества на определённое число равномощных непересекающихся подмножеств не всегда разрешима. Например, множество содержит 7 элементов, а требуется его разбить на 5 равномощных непересекающихся подмножеств. Ясно, что 7 не делится на 5. В дальнейшем мы будем рассматривать только такие множества, каждый элемент которого допускает разбиение на равные части. В приведенном примере каждый элемент разобьем на 5 равных частей и получим 7 · 5 = 35 равных частей. После этого нетрудно выполнить заданное деление.

Заметим, что природа элементов, допускающих подобное разбиение, для арифметики безразлична. Каждый элемент множества будем называть единицей, а каждую из равных частей единицы – долей.

Пусть дано некоторое множество А, каждый элемент которого состоит из п одинаковых долей, тогда его можно охарактеризовать двумя числами: а числом «n -ных» долей (у нас а = 35) и n (у нас n = 5). Полученная пара чисел определяет понятие обыкновенной дроби.

Определение. Обыкновенной дробью или дробным числом называется пара натуральных чисел (а, п), характеризующая множество А одинаковых долей единицы; первое из них а показывает, сколько «n -ных» долей содержит А и называется числителем дроби, второе – п – на сколько одинаковых долей разделена единица и называется знаменателем дроби.

Общепринята запись в виде , здесь а Î N ₀, n Î N (в случае арифметической дроби считают а, n Î Z, n ≠ 0 ).

При этом полагают, что при любом n выражает 0 (пустое множество долей), а дробь выражает натуральное число, т.е. считают, что «первые» доли элементов представляют собой не что иное, как сами элементы.

После введения понятия обыкновенной дроби задача деления для натуральных чисел становится разрешимой во всех случаях без исключения. Коротко эта операция записывается так:

а: n = : n = ; т.е. а: n = .

Итак, частное от деления любого натурального числа на любое натуральное число есть дробь.

Числа, которые можно представить (записать) в виде обыкновенных дробей, называются положительными рациональными числами.

Найдём теперь частное: в = ак: nк = (ак: к): n = а: n = .

С одной стороны в = , где к Î N, с другой – получили в = .

Итак, (" к Î N) = , такие дроби называются равными (эквивалентными) дробями.

Перейдём теперь к рассмотрению арифметических действий над дробями.

Определение. Суммой дробей с одним и тем же знаменателем, называется дробь с тем же знаменателем, числитель которой равен сумме числителей этих дробей:

.

То есть, если в множестве А ₁ содержится а ₁ «n -ных» долей, а в множестве А ₂ – а ₂ «n -ных» долей, то содержит (а ₁ + а ₂) «n -ных» долей.

В частности, .

Определение. Разность двух дробей определяется так:

, где а ₁ ³ а ₂.

Замечание. Поскольку любая дробь может быть заменена равной ей дробью, то для дробей с разными знаменателями данное определение выглядит так: .

(а ₁– а ₂) – это характеристика множества А ₁ \ А ₂ «n -ных» долей.

Перейдем к определению умножения и деления дробей.

Рассмотрим сначала умножение и деление дроби на число.

Пусть в Î N, тогда

.

То есть, если каждое из множеств А ₁, А ₂, …, А_в состоит из а «n -ных» долей, то А ₁ А ₂ … А_в состоит из ав «n -ных» долей.

Итак, . По коммутативности умножения .

Рассмотрим теперь : в = : в = .

Здесь а · в «nв -ных» долей разделили на в.

Перейдём к рассмотрению умножения и деления дробей.

Напомним, что умножением в Î N на дробь называется совокупность двух последовательных операций: деления на знаменатель дроби и умножения на её числитель, т.е. = (в: n) · a.

Умножим теперь дробь на дробь . Сперва находим
: n = , т.е. «n -ную» долю от , а затем произведение · в = , т.е. в таких «n -ных» долей от .

Таким образом, произведение двух произвольных дробей и , есть дробь , т.е. · = .

Найдём частное от деления на , где а, в, к, n Î N.

Пусть = : , т.е. × = или = – это равенство после почленного умножения на к и деления на в приводит к равенству:

= или = , т.е. : = .

Напомним, что «инвариант» латинское слово, которое переводится как неизменное, общее свойство.

Определив натуральное число как инвариант класса равномощных конечных множеств, а целое число как инвариант класса равномощных изменений численности конечных множеств, можно определить дробь как инвариант класса равномощных конечных множеств одинаковых долей любых элементов.

Перейдем теперь от множества положительных рациональных чисел к множеству рациональных чисел.

Определение. Отрицательным рациональным числом – , где а и п – произвольные натуральные числа, называется число, характеризующее уменьшение любого множества «n -ных» долей элементов на а этих долей, т.е. замену множества, содержащего с «n -ных» долей, множеством, содержащим (с – а) таких долей.

После введения рациональных чисел обыкновенные дроби получают новое название – рациональные положительные числа и новое обозначение , + , . При п = 1 рациональные числа и представляют собой не что иное как целые числа +а и – а, а потому множество всех рациональных чисел, получаемое объединением всех рациональных положительных чисел, рациональных отрицательных чисел и числа 0, содержит в себе множество натуральных чисел N.

В записи будем считать теперь, что а Î Z, n Î N.

Итак, рациональное число, есть инвариант класса равномощных изменений численности конечных множеств, составленных из одинаковых долей элементов.

Определение. = , если дроби , одного знака и их модули равны, т.е. = .

Определение. Говорят, что

1) если и – положительные рациональные числа и ак > nв; или

2) если и – отрицательные рациональные числа и < ; или

3) если – положительное рациональное число, – отрицательное или равное 0 рациональное число.

Дальше определяются арифметические действия в множестве рациональных чисел.

Определение суммы в множестве рациональных чисел:

.

Определение произведения в множестве рациональных чисел:

.

Определение разности в множестве рациональных чисел:

.

Определение частного в множестве рациональных чисел:

, здесь а₂ ≠ 0.

Дата добавления: 2015-07-18