Следствие 1.

Пусть m – есть некоторый общий делитель чисел в ₁, в ₂, …, в_n, тогда

НОД ;

НОК ,

т.е. если данные числа разделить на m, то их НОД и НОК также разделятся на m.

Доказательство. По теореме 3 имеем:

m НОД (а ₁, а ₂, …, а_n) = НОД (mа ₁, mа ₂, …, mа_n), разделим обе части равенства на m, получим

НОД (а ₁, а ₂, …, а_n) = .

Обозначим ma_i = в_i Þ a_i = . Тогда:

. Что и требовалось доказать. Точно также выводится равенство относительно НОК.

Следствие 2.

d = НОД (а ₁, а ₂, …, а_n)Û .

Доказательство. Необходимость.

Дано НОД (а ₁, а ₂, …, а_n) = d, доказать, что .

По следствию 1, имеем

НОД .

Достаточность.

Дано НОД , доказать, что НОД (а ₁, а ₂, …, а_n) = d.

Обе части данного равенства умножим на d,

тогда d НОД .

По теореме 2 НОД (а ₁, а ₂, …, а_n) = d. Что и требовалось доказать.

П р и м е р ы на применение следствия.

Пусть в₁ = 33, в₂ = 55, в₃ = 99 Þ m = 11

1. .

=НОК (3, 5, 9) Þ НОК (33, 55, 99) = 11 · 45 = 495.

2. Пусть в ₁ = 33, в ₂ = 55, в ₃ = 99;

НОД (33, 55, 99) = 11. Тогда НОД ()= 1.

Дата добавления: 2015-07-18