Задача расширения понятия числа

Определение. Множество В называется расширением некоторого множества А, если оно удовлетворяет следующим четырем условиям:

1) Множество А есть собственное подмножество множества В, т.е. А Ì В.

2) Все отношения и операции, определенные в множестве А, обязательно выполняются в множестве В, при этом их смысл для элементов множества А совпадает с тем, который они имели в множестве А до расширения.

3) В множестве В выполнима какая-то новая алгебраическая операция, которая в множестве А была не выполнима или не всегда выполнима (это и есть внутренняя причина расширения множества).

4) Множество В является минимальным расширением множества А, т.е. не должно существовать промежуточного множества С, такого что А Ì С Ì В, обладающего вышеуказанными свойствами.

Взаимосвязи между множествами чисел N, Z, Q и R можно изобразить наглядно на кругах Эйлера-Венна (рис. 1). NÌZÌQÌR – это логическая последовательность в расширении понятия числа.

Рис. 1

Исходя из данного определения расширения множества, можно дать определения множествам Z, Q, R. Действительные числа (множество R) – не последнее множество в расширении понятия числа, процесс расширения числового множества продолжается в настоящее время.

П р и м е р. Множество Z – целых чисел является расширением множества N – натуральных чисел.

В самом деле, выполняется первое условие, поскольку любое натуральное число является целым, т.е. N Ì Z. Выполняется второе условие: все отношения и операции, определенные для натуральных чисел, выполняются в множестве целых чисел, при этом их смысл для натуральных чисел совпадает с тем, который они имели в множестве натуральных чисел до расширения.

Выполняется третье условие: в множестве Z – целых чисел выполнима новая операция – вычитания, которая была не всегда выполнима в множестве N – натуральных чисел.

Четвертое условие выполняется, т.к. из курса математики известно, что множество целых чисел является минимальным расширением множества натуральных чисел.

§ 2. Целые числа (аксиоматический подход)

Основные неопределяемые понятия арифметики целых чисел: основные объекты – целое число, нуль и основное отношение: «непосредственно следует за».

Система аксиом А1-А4 для целых чисел:

А1. Нуль есть целое число. (Нуль обозначим символом 0.)

А2. Каково бы ни было целое число п существует одно и только одно целое число п', непосредственно следующее за п.

А3. Каково бы ни было целое число п, существует одно и только одно целое число 'п, для которого п является непосредственно следующим.

По определению это число 'п называется непосредственно предшествующим числу п.

А4. Если какое-нибудь подмножество М целых чисел обладает следующими двумя свойствами:

а) оно (М) содержит какое-нибудь целое число;

б) содержа какое-нибудь целое число п, оно содержит и непосредственно следующее за п число п', и число 'п, для которого число п является непосредственно следующим, то это множество М есть множество всех целых чисел (т. е. М = Z .).

То есть мы имеем сначала ряд:..., а, в, с, d, к, f,..., выделяем 0, пусть d – это 0. Имеем..., а, в, с, 0, к, f,..., определяем непосредственно следующие элементы:..., а, в, с, 0, 1, 2, 3,..., определяем непосредственно предшествующие элементы:..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,.... Получаем множество Z.

Положительное целое число это целое число непосредственно следующее за 0 (т.е. число 0' = 1 по обозначению) или целое число непосредственно следующее за положительным числом п (т.е. п'). Положительными числами будут числа: 1 = 0', 2 = 1', 3 = 2',...

Отрицательное целое число – это целое число непосредственно предшествующее нулю (т.е. '0 = –1) или целое число непосредственно предшествующее отрицательному числу п (т.е. 'п). Таким образом, отрицательными будут числа –1 = '0, –2 = '(–1), –3 = '(–2),....

---

Дата добавления: 2015-07-18