Понятие целого неотрицательного числа

Пусть М – множество всех конечных множеств. Рассмотрим в нем отношение Х ~ Y. Ранее было доказано (см. § 14 гл. II), что это отношение является эквивалентностью, а значит позволяет разбить множество М на классы. Разобьем его на классы по эквивалентности множеств:

М = { К _Æ, K_А, К_B, К_C,... }, где

К _Æ – класс пустых множеств,

K_А – класс множеств, эквивалентных множеству А,

К_B – класс множеств, эквивалентных множеству В,

К_C – класс множеств, эквивалентных множеству С, и т.д. (см. § 7 главы II).

Причём, любые два множества различных классов не эквивалентны между собой. Пусть, например,

… … …

Отвлекаясь от специфических особенностей множеств, входящих в определенный класс эквивалентных конечных множеств, и, подмечая общее свойство, которым обладают все множества определенного класса и не обладает ни одно множество, не входящее в этот класс, приходим к понятию целого неотрицательного числа, определяемого классом эквивалентных множеств.

Напомним, что два множества, которые можно взаимно однозначно отобразить друг на друга, называются равномощными (эквивалентными). Следовательно, для конечных множеств утверждение «множества А и В равномощны» равносильно утверждению «множества А и В содержат поровну элементов», т.е. им соответствует одно и то же натуральное число (см. § 14, глава II).

Определение. С теоретико-множественных позиций натуральное число – это число элементов любого множества, взятого из класса эквивалентных конечных множеств.

Таким образом, целое неотрицательное число характеризуется теми свойствами конечного множества А, которые остаются неизменными при замене множества А любым конечным множеством, ему эквивалентным. Так число, определяемое классом множеств, эквивалентных множеству А в приведенном выше примере, называется «один» и обозначается символом «1». Можно так же сказать, что число «один» – это число элементов в множестве А (или множестве, ему эквивалентном). Символическая запись этого факта такова: n (А) = 1. Число, определяемое классом множеств, эквивалентных множеству В, называется словом «два» и обозначается символом «2». Символически можно написать n (В) = 2 и т.д. Число, определяемое классом пустых множеств, есть по определению «нуль»: n (Æ) = 0.

Дата добавления: 2015-07-18