Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Сложение целых неотрицательных чисел

Читайте также:
  1. Аксиомы Пеано. Аксиоматическое определение целых неотрицательных чисел
  2. Вычитание и деление положительных действительных чисел
  3. Вычитание целых неотрицательных чисел
  4. Генерирование случайных чисел
  5. Геометрическая интерпретация множества целых чисел
  6. Глава 8. Мистика чисел.
  7. Глава 9. Логика чисел.

Сложение целых неотрицательных чисел связано с операцией объединения попарно непересекающихся конечных множеств.

Определение. Суммой целых неотрицательных чисел а и в называют целое неотрицательное число с, равное числу элементов в объединении непересекающихся множеств А и В, таких, что n (А) = а, n (В) = в.

Символически это определение можно записать так:

а + в = n (), где а = n (А), в = n (В) и = Æ.

П р и м е р. Объясните, используя определение суммы целых неотрицательных чисел, что 3 + 5 = 8.

Пусть 3 = n (А), где А – любое трехэлементное множество, например, А ={ х, у, z }, 5 = n (В), где В – любое пятиэлементное непересекающееся с А множество, например, В = { а, в, с, d, f }. Найдем =
= { х, у, z, а, в, с, d, f }. Сосчитаем число элементов в , получим n () = 8. Следовательно, 3 + 5 = 8.

Определение. Операция (правило), посредством которой находится сумма целых неотрицательных чисел а и в, называют сложением, а числа а и в – слагаемыми.

Теорема 1. (" a, в Î N 0) ($! c Î N 0)[ a + в = с ].

Доказательство.

1) Существование суммы.

Пусть а и в – два целых неотрицательных числа, причем а = n (А),
в = n (В), = Æ. Объединение множеств А и В существует, следовательно, существует и целое неотрицательное число с = n (). Т.о. существование суммы доказано.

2) Единственность суммы.

Пусть а и в – два целых неотрицательных числа. Рассмотрим объединение соответствующих им множеств А и В. Так как каждый элемент в объединении множеств выписывается только один раз и порядок элементов в множестве не играет роли, то объединение множеств будет определено единственным образом. Число элементов этого объединения единственное. Следовательно, и сумма двух любых целых неотрицательных чисел будет определяться единственным образом.

Теорема 2. (" a, в Î N 0)[ a + в = в + а ] – коммутативность.

Доказательство. Т.к. = , то

.

Теорема 3. (" a, в, c Î N 0) [(a + в) + с = а + (в + с)] – ассоциативность.

Доказательство. По определению суммы

(а + в) + с = n ((A B) C) = n (A (B C)) = а + (в + с).

Теорема 4. (" a, в, c Î N 0) [ a < в Þ а + с < в + с ] – монотонность.

Доказательство. Т.к. A Ì B Þ A C Ì В C, то

n (A) < n (B) Þ n (A C) < n (B C), что равносильно предложению а < в Þ а + с < в + с.


Дата добавления: 2015-07-18; просмотров: 546 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Строение теоремы | Теорема, противоположная данной | Математические доказательства | Правильные умозаключения | Определение алгоритма | Алгоритмический язык | Понятие об аксиоматическом методе построения теории | Аксиомы Пеано. Аксиоматическое определение целых неотрицательных чисел | Деление с остатком | Понятие целого неотрицательного числа |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Сравнение целых неотрицательных чисел| Вычитание целых неотрицательных чисел

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)