Способы перехода от бесконечных периодических десятичных дробей к дробям обыкновенным

Пусть дана периодическая дробь а = 0,(4), т.е. 0,4444....

Умножим а на 10, получим

10 а = 4,444…4…Þ 10 а = 4 + 0,444….

Т.е. 10 а = 4 + а, получили уравнение относительно а, решив его, получим: 9 а = 4 Þ а = .

Замечаем, что 4 – одновременно и числитель полученной дроби и период дроби 0,(4).

Правило обращения в обыкновенную дробь чистой периодической дроби формулируется так: числитель дроби равен периоду, а знаменатель состоит из такого числа девяток, сколько цифр в периоде дроби.

Докажем теперь это правило для дроби, период которой состоит из п цифр. Пусть дана периодическая дробь

а = . Умножим а на 10 ⁿ, получим:

10 ⁿ × а = = + 0, ;

10 ⁿ × а = + a;

(10 ⁿ – 1) а = Þ a = = .

Итак, сформулированное ранее правило, доказано для любой чистой периодической дроби.

Пусть теперь дана дробь а = 0,605(43) – смешанная периодическая. Умножим а на 10 с таким показателем, сколько цифр в предпериоде, т.е. на 10³, получим

10³ × а = 605 + 0,(43) Þ 10³ × а = 605 + = 605 + = = ,

т.е. 10³× а = .

Правило обращения в обыкновенную дробь смешанной периодической дроби формулируется так: числитель дроби равен разности между числом, записанным цифрами, стоящими до начала второго периода, и числом, записанным цифрами стоящими до начала первого периода, знаменатель состоит из такого числа девяток, сколько цифр в периоде и такого числа нулей сколько цифр стоит до начала первого периода.

Докажем теперь это правило для дроби, предпериод которой состоит из п цифр, а период из к цифр. Пусть дана периодическая дробь

а = .

Обозначим в = ; r = ,

с = ; тогда с = в × 10 ^к + r.

Умножим а на 10 с таким показателем степени сколько цифр в предпериоде, т.е. на 10 ⁿ, получим:

а ×10 ⁿ = + .

Учитывая введенные выше обозначения запишем:

а× 10 ⁿ = в + .

Итак, сформулированное выше правило доказано для любой смешанной периодической дроби.

Всякая бесконечная периодическая десятичная дробь является формой записи некоторого рационального числа.

В целях однообразия иногда конечную десятичную дробь также считают бесконечной периодической десятичной дробью с периодом «нуль». Например, 0,27 = 0,27000...; 10,567 = 10,567000...; 3 = 3,000....

Теперь становится справедливым такое утверждение: всякое рациональное число можно (и притом единственным образом) выразить бесконечной десятичной периодической дробью и всякая бесконечная периодическая десятичная дробь выражает ровно одно рациональное число (периодические десятичные дроби с периодом 9 при этом не рассматриваются).

Вопросы и задания для самопроверки

1. Какое множество называется расширением другого множества? Дайте определения множествам: целых чисел ( Z ), рациональных чисел (Q), действительных чисел (R) как расширениям числового множества.

2. Среди следующих высказываний укажите истинные:

а) любое рациональное число является действительным числом;

б) существуют действительные числа, не являющиеся рациональными;

в) любое рациональное число может быть записано в виде обыкновенной дроби и в виде бесконечной десятичной периодической дроби;

г) любое действительное число является иррациональным числом;

д) любое рациональное число может быть записано в виде бесконечной десятичной непериодической дроби.

ГЛАВА XII

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Изпредыдущей главы нам известно, что рациональные числа могут быть записаны в виде бесконечной периодической десятичной дроби. например, 1/1998=0,000500500500…. Но можно вообразить бесконечную десятичную дробь, в которой никакой период не обнаруживается. Такие числа называются иррациональными. К примеру, можно «сконструировать» такое иррациональное число: 0,1010010001000010…, в этой десятичной дроби единица последовательно встречается через одну, две, три позиции и т.д.

Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел. Образом совокупности действительных чисел является прямая. Если на ней, выбрав начало отсчета и единичный отрезок, откладывать его по разные стороны от начала, то получим изображение целых чисел. Разделив единичный отрезок на равные части, можно получить изображение чисел . Однако все равно таким образом не удастся заполнить всю прямую. В самом деле, если отложить от нуля отрезок, равный диагонали квадрата со стороной 1, то конец этого отрезка не совпадет ни с одной из построенных нами рациональных точек. Значит, – это новое число, ниже будет доказано, что оно не является рациональным.

Итак, перейдем к изучению действительных чисел. Для них придется заново определять операции сложения, вычитания, умножения и деления. Начнем с положительных действительных чисел.

Дата добавления: 2015-07-18