Несоизмеримые отрезки

Из предыдущего параграфа ясно, что два отрезка могут быть соизмеримыми или несоизмеримыми.

Определение 1. Два отрезка а и в называют соизмеримыми, если существует третий отрезок е, который укладывается в каждом из двух отрезков целое число раз, при этом отрезок е называется общей мерой этих двух отрезков.

Например, если имеем то отрезки а и в соизмеримы.

Определение 2. Два отрезка а и в называют несоизмеримыми, если не существует третий отрезок е, который укладывается в каждом из двух данных отрезков целое число раз.

Докажем, что существует хотя бы одна пара несоизмеримых отрезков.

Еще в Древней Греции было замечено, что существуют отрезки, несоизмеримые с единичным отрезком е, т.е. отрезки длину которых нельзя выразить, пользуясь лишь рациональными числами. Так, один из учеников Пифагора в установленном Пифагором соотношении, что квадрат длины гипотенузы с прямоугольного треугольника равен сумме квадратов длин катетов, рассмотрел случай, когда длины катетов равны между собой и равны 1. Получив с ² = 1 ² + 1², он поставил перед собой задачу найти с. Очевидно, что 1 < с < 2. Найти с путем подбора не удалось. Тогда были проведены для нахождения с такие общие рассуждения:

1) Допустим с = , произвольная несократимая дробь.

2) Мы имеем ()² = 2Þ m ² = 2 n ² (*).

3) Из (*) следует m ² 2, т.е. m – чётное, тогда обозначим m = 2 m ₁. Подставим 2 m ₁ в (*), получим (2 m ₁)² = 2 n ² или 4 m ₁² = 2 n ² Þ 2 m ₁² = n ² Þ n ² 2.

4) Из n ² 2 следует, что n – чётное, тогда обозначим n = 2 n ₁.

5) Таким образом = , дробь оказалась сократимой, но по условию она несократимая.

6) В рассуждениях получилось противоречие первоначальному предположению об её несократимости. Значит, допущение, что существует отрезок с, длина которою выражается дробным числом ложно.

Итак, длина отрезка с не выражается ни целым, ни дробным числом. Следовательно, существует хотя бы одна пара отрезков (сторона квадрата и его диагональ), длина одного из которых выражена числом 1, а длина другого не может быть при этом выражена ни натуральным, ни дробным числом, т.е. существуют несоизмеримые отрезки.

Для того, чтобы можно было выразить числом результат измерения любого отрезка лишь положительных рациональных чисел недостаточно, т.е. нужно расширить множество Q₊, пополнив его новыми числами.

Дата добавления: 2015-07-18