Ограниченные и монотонные функции

Среди важнейших классов функций можно указать ограниченные и монотонные функции.

Заметим, что хотя по самой своей сути график функции отличается наглядностью, на рисунке умещается лишь часть графика функции. Поясним сказанное на примерах (рис. 22 а, б, в, г).

а) б)

в) г)

Рис. 22

Полностью график изображен лишь в случае а), в случаях б) и в) областью определения является бесконечный промежуток поэтому, естественно, на рисунках уместилась только часть графика функции. В случае г) область определения – промежуток конечной длины – [1, 3], однако в этом случае уместилась только часть графика функции.

В случаях б), в), г) заданы так называемые неограниченные функции.

Определение. Функцию у = f (х)называют ограниченной на промежутке D, если можно указать такие два числа А и В, что для всех х Î D выполняются неравенства: А < f (х) < В.

В противном случае функцию называют неограниченной (на рассматриваемом промежутке).

Заметим, что на бесконечных промежутках могут быть определены как ограниченные, так и неограниченные функции. Примеры ограниченных функций: у = sin х, у = соs х. Примерами неограниченных функций могут быть, в частности, функции, изображенные графически на рис.22в случаях б), в).

На промежутках конечной длины также могут быть определены как ограниченные, так и неограниченные функции. Такие примеры также имеются на рис. 22: в случае а) функция ограниченная, в случае г) функция неограниченная.

Возникает вопрос: связаны ли взаимно понятия ограниченность (неограниченность) функции и конечность промежутка, на котором она определена? Для ответа на этот вопрос укажем вначале еще на один из важнейших классов функций: монотонные функции.

Определение. Функцию у = f (х)называют неубывающей на промежутке D, если для любых х ₁и х ₂из этого промежутка, удовлетворяющих неравенству х ₁< х₂, выполняется неравенство f (х ₁) £ f (х ₂).Если же вместо последнего неравенства имеет место неравенство f (х ₁) ³ f (х ₂), то говорят о невозрастающей функции.

Функция называется монотонной, если она либо невозрастающая, либо неубывающая.

Теперь можно сформулировать ответ на поставленный выше вопрос в виде следующей теоремы.

Теорема. Если функция определенная на замкнутом промежутке монотонная, то она ограниченная.

Доказательство. Пусть функция у = f (х)определена на замкнутом промежутке [ а; в ].Обозначим :f (а) = А, f (в) = В. Предположим для конкретности, что рассматривается неубывающая функция. В этом случае имеем А £ В. Выберем произвольную точку х из отрезка [ а; в ]. Поскольку а < х, то, согласно условию теоремы А < f (х).Поскольку х < в, то f (х) < В. Таким образом, для всех x из области определения функции выполняются неравенства А £ f (х) £ В. Теорема доказана.

Замечание. Если в определенной монотонной функции в неравенстве f (х ₁) £ f (х ₂) или f (х ₁) ³ f (х ₂) убрать знак равенства, то получим так называемую строго монотонную функцию: либо возрастающую, либо убывающую.

Для строго монотонной функции существует обратная функция.

Дата добавления: 2015-07-18