Определение числовой функции. Примеры

Определение. Если каждому числу х, взятому из множества X, по некоторому правилу или закону ставится в соответствие единственное число у, то говорят, что задана функция, которая обозначается y = f (x).

Числовое множество Х называют областью определения функции, а множество значений Y называют областью изменения функции.

Из приведенного определения следует, что функция считается заданной, если: 1) известна область определения функции и 2) указано правило или закон, по которому каждому значению х ставится в соответствие одно определенное значение у, короче – известен закон соответствия. Обычно областью определения числовой функции являются замкнутый промежуток, или сегмент [ а, в ]: а £ х £ в, открытый промежуток, или интервал (а, в): а < х < в, полуоткрытые промежутки, или полуинтервалы [ а, в), (а, в ]: а £ х < в, а < x £ в. К ним присоединяются: (а, +¥), (–¥, а), [ a, +¥), (–¥, a ], (–¥, +¥).

Область определения функции может состоять из одного или нескольких промежутков и из отдельных точек числовой прямой.

Чтобы показать, что у есть функция от переменной х, пользуются обозначениями: у = f(х), у = j(х), у = А (х), у = у (х) и т. д. Функцию можно обозначить любой буквой.

Запись y =f (х) [ а, в ] будем понимать так: функция f (х) определена (задана) в указанном промежутке.

Чтобы найти значение у по данному значению х, взятому из промежутка [ а, в ], надо произвести над ним некоторую определенную систему операций f. Отсюда следует, что если функция задана, т.е. известно множество значений х и закон соответствия f, то определено и множество значений у.

На рисунке 1 показана область определения функции у = f (x) – промежуток [ а. b ] и область изменения – промежуток [ с, d ], или, что одно и то же, аргумент x данной функции изменяется от а до в
(a £ x £ в), а функция y изменяется от с до d (c £ y £ d).

Может оказаться, что область изменения функции состоит из одного какого-нибудь числа с, или, иначе говоря, каждому значению х, взятому из области определения функции, соответствует единственное число с. В этом случае функция постоянна и записывается так:

f (x)= c (рис. 2), или f (x) = const.

Частное значение функции f (x) в точке x ₀ обозначается f (x ₀). Например, если f (x)= x ³ – 5 x + 3, то f (2) = 2³ – 5 × 2 + 3 = 1, f (0) = 3; если j (t) = , то j (0) = 1, j (3) = 0,1, j (a) = и т.п.

На рис. 1 изображено частное значение функции в точке x ₀ равное y ₀.

Среди основных элементарных функций есть функции вида
f (x) = р (x), где р (x) – многочлен, их называют целыми рациональными функциями. А так же функции вида , где р (x) и q (x) – многочлены, их называют дробно-рациональными функциями. Частное определено, если q (x) не обращается в нуль. Поэтому область определения дробно-рациональной функции – множество всех действительных чисел, из которого исключены корни многочлена q (x).

В этой главе мы будем рассматривать свойства и графики целых рациональных и дробно-рациональных функций.

Дата добавления: 2015-07-18