Обратная функция

Пусть функция y = f (x) (1)

задана в сегменте [ а, b ], а множество ее значений (область изменения функции) есть сегмент [ с; d ].

Если каждому значению у из сегмента [ с; d ] соответствует одно значение х из сегмента [ а, b ], для которого f (х) = у, то в сегменте [ с; d ] можно определить функцию

x = j (y) (2)

так, что каждому значению у, взятому в сегменте [ с, d ], будет соответствовать одно значение х из сегмента [ а, b ], для которого f (х) = у. Функция (2) называется обратной по отношению к данной функции (1), удовлетворяющей для всех значений у, взятых в сегменте [ с, d ], условию у = f (j (y)). Заметим, что если функция (2) обратная по отношению к функции (1), то, очевидно, что функция (1) обратная по отношению к функции (2).

Функции (1) и (2) называют взаимно обратными. Заметим также, что в определении вместо сегментов [ а, b ] и [ с, d ] можно взять любые промежутки, например, интервалы (а, b) и (с, d).

Имеет место теорема, выражающая достаточное условие существования обратной функции.

Рис. 23

Теорема. Если функция у = f (x) строго монотонна, то разные х отображаются в разные у.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Заметим, что график прямой функции у = f (х),заданной в сегменте [ а, b ] (с £ у £ d), и обратной функции х = j (у), заданной в сегменте [ с, d ] (a £ x £ b), будет один и тот же (рис. 23). Следовательно, для построения графика функции у = f (х), заданной в промежутке
[ а, b ] (с £ у £ d), можно построить график обратной функции х = (у), заданной в промежутке [ с, d ](а £ х £ b). Если же в обратной функции х = j (у) независимую переменную обозначить через х, а функцию через у, то областью определения обратной функции
х = j (у) будет промежуток [с, d ] на оси Ох (вертикальной), а областью изменения функции промежуток [ а, b ] на оси Оу (горизонтальной), т.е. произойдет перемена названий осей координат. Чтобы придать обычное общепринятое расположение осям координат, надо повернуть плоскость чертежа хОу на 180° вокруг биссектрисы первого и третьего координатных углов, при этом и график обратной функции будет получен как зеркальное отражение графика прямой функции y = f (x) относительно этой биссектрисы (рис. 24).

На практике переход от исходной функции к обратной очень просто выполняется графически.

График обратной функции симметричен по отношению к графику исходной функции, причем осью симметрии служит прямая у = х.

Это хорошо видно на рис. 25 (а, б).

а) б)

Рис. 25

На рисунке 25 а) исходная функция обратная ей функция .

На рисунке 25 б) исходная функция обратная ей функция .

П р и м е р ы. Найти функции, обратные к данным и указать их области определения.

1) y = 2 x – 3; 2) y =

Решение.

1) Функция у = 2 х – 3 определена в интервале (–¥, +¥), множество ее значений также есть интервал (–¥, +¥), причем эта функция строго возрастающая (докажите!), следовательно, по достаточному условию существования обратной функции, определяется в этом интервале обратная функция.

Сначала выразим в заданной формуле х через у: х = .

Поменяем обозначения х и у местами в последней формуле, получим у = . Это и есть функция, обратная к функции y = 2 x – 3.

2) Функция y = задана в интервалах (–¥, 0) и (0, +¥), убывает в этих интервалах (докажите!). Множество значений этой функции также интервалы (–¥, 0) и (0, +¥), следовательно, существует в этих интервалах обратная однозначная убывающая функция х = . Поменяв обозначения х и у местами, получаем y = . Нетрудно заметить, что данная функция y = совпадает со своей обратной.

Дата добавления: 2015-07-18