График дробно-линейной функции

Определение. Дробно-линейной функцией называется функция вида y = , где коэффициенты a, b, c, d – действительные числа.

Область определения этой функции есть всё множество действительных чисел, кроме числа равного – . Множество значений функции есть множество всех действительных чисел, кроме .

Эта функция представляет собой частное двух линейных функций. Дробно-линейная функция сводится к линейной функции при
с = 0, а d ¹ 0 и к постоянной при ad = bc. При a = d = 0, с ¹ 0 из дробно-линейной функции получается обратная пропорциональная зависимость, выражаемая формулой , где .

Покажем, что график дробно-линейной функции

y = (1)

при с ¹ 0 и ad – bc ¹ 0 получается из графика обратной пропорциональности параллельным переносом осей координат.

Преобразуем сначала уравнение

.

Для построения графика используем описанный в §10 II способ.

Значит, для построения графика заданной функции надо перенести начало координат в точку О ¢ (– ; и построить график обратной пропорциональности y ¢ = , где k = .

П р и м е р. Постройте график функции .

Найдем координаты нового начала координат О ¢ = , получим О ¢ = (1; 1). Подсчитаем значение , получим k = 1, тогда в новой системе координат x ¢ O ¢ y ¢ . Построим график этой функции в системе координат x ¢ O ¢ y ¢ (рис. 30).

Рис. 30

Вопросы и задания для самопроверки

1. Каждому числу из множества Х = {3, 4, 5} поставлен в соответствие его делитель из множества натуральных чисел. Является это соответствие функцией?

2. Функция задана уравнением у = 2 х – 4. Область ее определения множество {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Найдите множество значений этой функции.

3. Найдите множество значений функции у = 4 – х ², если областью ее определения является множество Х:

а) Х = R; б) Х = (–¥; 0 ]; в) Х = (–2; 2).

4. Найдите область определения функции:

а) ¦ (х) = 5 х – 2; б) ¦ (х) = ; в) ¦ (х) = ;

г) ¦ (х) = ; д) ¦ (х) = х – 2.

5. Не выполняя построения графика, установите, принадлежит ли графику функции у = –2 х + 7 точка М, если:

а) М (8; 23), б) М (–1,7; 10,4), в) М (0; 7).

6. Постройте график функции у = –5 х, зная, что ее область определения есть: а) множество действительных чисел; б) промежуток
[0; 4]; в) множество целых чисел; г) множество {–2; –1; 0; 1; 2}.

7. Постройте график функции, заданной на множестве действительных чисел:

а) ¦ (х) = б) ¦(х) =

в) ¦(х) = г) f (x) =

8. Постройте графики функций:

а) у = 2 х; б) у = ;

в) у = , если известно, что график проходит через точку М (2; –7);

г) у = , если известно, что график проходит через точку М (–2; 6).

9. Основание прямоугольника 3м, а высота х м, площадь у м². Задайте с помощью уравнения зависимость между х и у. Постройте график этой зависимости.

10. Постройте графики следующих функций:

а) у = х ² –4 х + 6,б) у = х ² –3 х + 4, в) у =2 х ² + 8 х +3,

г) у =– х ² –4 х + 8, д ) у = , е) у = ,

ж) у = ,з) у = .

Дата добавления: 2015-07-18