Свойства алгебраических операций

При изучении алгебраических операций в множестве целых неотрицательных чисел мы доказали свойства коммутативности сложения и умножения, дистрибутивности умножения относительно сложения. При изучении множеств доказали свойства коммутативности пересечения и дистрибутивности пересечения относительно объединения.

Рассмотрим свойства алгебраических операций, определив их в общем виде. Важнейшим из свойств алгебраических операций, используемых при преобразовании выражений, является свойство ассоциативности.

Определение. Алгебраическую операцию *, заданную на множестве Х, называют ассоциативной, если для любых трех элементов x, y, z из множества Х выполняется равенство (x * y) * z = x * (y * z). Символическая запись этого определения:

(" х, у, z Î Х) [(x * y) * z = x * (y * z)].

Ассоциативность алгебраической операции * позволяет записывать без скобок все выражения, содержащие лишь эту операцию. Приведем примеры ассоциативных и неассоциативных операций.

П р и м е р 1. Операции сложения и умножения в множестве целых чисел ассоциативны, т.е. для любых трех целых чисел

(x + y) + z = x + (y + z) и (x · y) · z = x ·(y · z).

П р и м е р 2. Операции конъюнкции и дизъюнкции высказываний обладают свойством ассоциативности (см § 6, 7 главы IV). Поэтому пишут так , , опуская скобки.

П р и м е р 3. Операция вычитания в множестве целых чисел не является ассоциативной, поскольку существуют целые числа а, в, с, для которых . Не является ассоциативной и операция деления в множестве рациональных чисел: существуют рациональные числа а, в, с, для которых .

Ранее мы заметили, что переставлять входящие в выражение элементы не всегда возможно. К примеру, для любых не равных множеств А, В . Если а, в – это числа, то а + в = в + а.

Определение. Алгебраическую операцию *, заданную на множестве Х, называют коммутативной, если для любых двух элементов х и у из множества Х выполняется равенство х * у = у * х. Символическая запись этого определения:

(" х, у Î Х) [ x * y = y * х ].

Приведем примеры коммутативных и некоммутативных операций.

П р и м е р 1. Сложение и умножение целых чисел коммутативны, поскольку (" х, у Î Z) [ x + y = y + х ] и [ xy = yх ].

П р и м е р 2. Вычитание в множестве целых чисел некоммутативно, т.к. существуют целые числа х и у, для которых x – y ¹ y – х.

П р и м е р 3. Деление в множестве рациональных чисел некоммутативно, т.к. существуют рациональные числа, для которых
x: y ¹ y: х.

Рассмотрим выражения, содержащие две операции. Обозначим эти операции символами * (читается «звездочка») и ○ (читается «кружок»). Если x, y, z, t – произвольные элементы множества, в котором они заданы, то можно составить, например, такие выражения, как (х * у) ○ (z * t). Эти выражения можно преобразовать, если операции * и ○ связаны между собой свойством дистрибутивности.

Определение. Алгебраическую операцию ○ называют дистрибутивной относительно алгебраической операции *, если для любых трех элементов х, у, z из множества Х выполняются равенства:

1) (x * y) ○ z = (x ○ z) * (y ○ z) и 2) z ○ (x * y) = (z ○ x) * (z ○ y).

Если выполняется только равенство 1), то операцию ○ называют дистрибутивной справа относительно операции *; если же выполняется только равенство 2), то операцию ○ называют дистрибутивной слева относительно операции *.

Приведем примеры.

П р и м е р 1. В множестве натуральных чисел возведение в степень дистрибутивна справа относительно умножения. В самом деле (xy) ^z = x^z · y^z (выполняется равенство 1) из определения). Записав равенство 2) из определения, получим z^xy ¹ z^x · z^y, поэтому операция возведение в степень не является дистрибутивной слева относительно умножения.

П р и м е р 2. В множестве натуральных чисел умножение дистрибутивно относительно сложения, для любых натуральных чисел х, у, z выполняются равенства 1) и 2), приведенные в определении:

(x + y) · z = x · z + y · z и z · (x + y) = z · x + z · y.

П р и м е р 3. Операция сложения не является дистрибутивной относительно операции умножения, поскольку для любых чисел:

x + yz ¹ (x + y) (x + z).

Если операция ○ дистрибутивна относительно операции * и обе операции ассоциативны, то в любом выражении, содержащем лишь эти две операции, можно раскрыть все скобки, перед которыми (или за которыми) стоит знак ○. Поэтому, например для любых действительных чисел x, y, z, t

(x + y) · (z + t) = x · (z + t) + y · (z + t) = x · z + x · t + y · z + y · t.

Если * и ○ – любые две алгебраические операции такие, что * ассоциативна и ○ дистрибутивна относительно *, то имеет место равенство

(x * y) ○ (z * t) = (x ○ z) * (x ○ t) * (y ○ z) * (y ○ t).

Кроме встречавшихся ранее в нашем курсе математики свойств, алгебраическая операция может обладать еще одним свойством – сократимостью.

Определение. Алгебраическую операцию *, заданную на множестве Х, называют сократимой, если из условий

а * х = а * у и х * а = у * а следует, что х = у.

Например, сократимостью обладает сложение натуральных чисел, поскольку из а + х = а + у и х + а = у + а следует, что х = у.

Дата добавления: 2015-07-18