Неравенства с одной переменной

Определение. Неравенства вида: ¦(x) < j(x), x Î X, ¦(x) > j(x),
x Î X, содержащие одну переменную называют неравенствами с одной переменной.

С логической точки зрения они являются одноместными предикатами. Решить такое неравенство означает найти множество Т чисел, при подстановке которых вместо x получаются истинные числовые неравенства.

Рассмотрим два неравенства x > 5 (1) и x > 3 (2), ясно, что каждое решение первого неравенства удовлетворяет второму неравенству. В таком случае говорят, что второе неравенство является следствием первого.

Обозначим Е ₁ – множество решений неравенства (1),

т.е. Е ₁ = (5,+¥), Е ₂ – множество решений неравенства (2),

т.е. Е ₂ = (3, +¥). Тогда можно записать Е ₁Ì Е ₂.

Если два неравенства имеют одно и то же множество решений, их называют равносильными. В этом случае каждое неравенство является следствием другого. Например, а > 5, а – 1 > 4 – равносильны. Поскольку неравенства, содержащие x, являются предикатами, можно говорить об их конъюнкции и дизъюнкции. Рассмотрим пример:
x + 2 > 6 Ù 2 x + 1 < 13, эту конъюнкцию можно записать так:

Итак, конъюнкция неравенств является в алгебре системой неравенств.

Решением системы является пересечение множеств решений каждого из неравенств.

Для приведенной системы это (4, +¥) (–¥, 6) = (4, 6).

Рассмотрим пример: x > 2 Ú x < 5 Ú x < 1,эту дизъюнкцию неравенств можно записать так:

Итак, дизъюнкция неравенств является в алгебре совокупностью неравенств. Решением совокупности является объединение множеств решений каждого из неравенств.

Решением первого неравенства является (2, +¥), второго (–¥, 5), третьего (–¥, 1), т.к. дизъюнкция истинна, если при этом значении истинно хотя бы одно из неравенств, то множество решений данной совокупности совпадает с R.

Дата добавления: 2015-07-18