Виды понятий, изучаемых в школьной геометрии

1. В школьной геометрии встречаются понятия, содержание и смысл которых раскрывается в других науках, например в философии, логике, в других математических дисциплинах. Таковы понятия: «существует», «множество», «принадлежит множеству», «понятие», «определение», «умозаключение», «доказательство», «число», «уравнение» и т.д.

В рамках геометрии эти понятия не определяются. Их смысл и содержание считаются известными.

Наряду с этим элементарная геометрия содержит также определения большего числа различных геометрических фигур (например, определение ромба, пирамиды, скрещивающихся прямых, диаметра шара и др.).

Поскольку каждое новое понятие в геометрии (в математике) определяется через ранее рассмотренные понятия, то ясно, что определить все без исключения понятия невозможно. Поэтому при любом построении курса геометрии приходится явно или неявно выделять несколько геометрических понятий, которые вводятся в курс без определения. Так, например, нигде в школьном учебнике геометрии мы не найдем определения терминов: «точка лежит на прямой» (или на плоскости), «точка лежит между двумя точками» и т.д.

Геометрические понятия, которые применяются при том или другом конкретном построении курса школьной геометрии без определения, называют первичными (основными, неопределяемыми) в данной системе изложения. При тщательном построении курса элементарной геометрии необходимо четко выделять те понятия, которые будут даны без определения. Не давая определения первичным понятиям, в то же время всегда подразумевается, что эти понятия обладают какими-то известными свойствами, что между этими понятиями существуют некоторые «само собой разумеющиеся» связи и зависимости.

Предложение, устанавливающее связь между первичными понятиями элементарной геометрии и принимаемое без доказательства, называют аксиомой элементарной геометрии.

Некоторые из аксиом сформулированы в школьном учебнике геометрии явно, например: «Через любые две точки можно провести прямую, и только одну». Мы не будем здесь приводить полный список аксиом. Посмотрите их в школьных учебниках (например, А.В. Погорелов «Геометрия 6-10» [11]).

После того как неопределяемые понятия выделены, следует всем остальным геометрическим понятиям давать определения. Определение, как и аксиома, тоже предложение, принимаемое без доказательства. Определение тоже устанавливает связь между понятиями, но определение вводит новое понятие, между тем как аксиома говорит о связи только между такими понятиями, которые были приняты как первичные. Определяемые понятия составляют, естественно, подавляющее большинство в списке понятий элементарной геометрии. При введении каждого нового понятия необходимо тем или иным способом убедиться в его существовании. При формулировке определений необходимо проявлять осторожность, чтобы не определять неизвестное понятие через такие понятия, которые ранее не были определены и которые не содержатся среди первичных понятий.

Сама совокупность аксиом составляет, по существу, косвенное, неявное определение первичных понятий. Все, что необходимо знать о первичных понятиях для построения курса геометрии, должно быть сказано в аксиомах.

При различных способах построения курса геометрии в качестве первичных могут быть приняты различные понятия. Понятия, которые являются первичными при одном способе построения курса геометрии, могут оказаться определяемыми при других способах построения этого курса. В зависимости от выбора первичных понятий меняется и список аксиом. Так, например, возможно построить весь курс геометрии на основании таких понятий «точка», «прямая», «плоскость», «принадлежит», «лежит между», «движение», «построить фигуру». Такой подход близок к принятому в средней школе способу построения курса геометрии.

2. Помимо определений и аксиом, в элементарной геометрии формулируются и другие предложения относительно геометрических понятий.

Каждое утверждение относительно геометрических понятий, справедливость которого устанавливается посредством некоторого рассуждения, называется в геометрии теоремой. Рассуждение, с помощью которого убеждаются в справедливости теоремы, называется доказательством. Сущность его заключается в том, что теорема выводится из аксиом, определений и ранее доказанных теорем, т.е. представляется как их логическое следствие. Геометрические теоремы часто формулируются в так называемой силлогистической форме, т.е. в таком виде, в котором явно выделено условие (то, что дано) и заключение (то, что требуется доказать). Например: «Если две различные плоскости перпендикулярны одной прямой, то они параллельны». Общая схема теоремы, сформулированной в силлогистической форме, имеет следующий вид: «Если А, то В».

3. В элементарной геометрии содержится большое количество задач. Для успешного решения геометрических задач необходимо свободное владение теоретическим материалом. Заметим, что некоторые утверждения, содержащиеся в школьном учебнике в форме задач, в других учебных пособиях по элементарной геометрии могут быть доказаны как теоремы, так как они часто используются в решении задач.

При решении геометрических задач часто не обойтись без чертежа. Чертеж – это удобный для восприятия наглядный способ записи условия задачи, он может стать помощником в решении задачи, подсказать правильный ход рассуждений. При этом ясно, конечно, что даже самый аккуратный чертеж сам по себе ничего не доказывает. Все, что «увидено» из чертежа, должно быть обосновано соответствующим логическим выводом.

Геометрические задачи условно можно поделить на три типа: на вычисление, на доказательство, на построение. По условию задачи нетрудно определить, к какому типу она относится.

Среди этих типов задачи на построение являются самыми древнейшими геометрическими задачами. Хотя сегодня этот тип задач выглядит несколько архаично, надуманно, однако он введен и в программу школьной геометрии, и в программу математики на факультетах педагогики и методики начального образования.

Подробно задачи на построение рассматриваются в последующих параграфах этой главы.

§ 2. Понятие геометрической фигуры

Определение. При теоретико-множественном подходе построения геометрииусловились называть геометрической фигурой (или просто фигурой) всякое непустое множество точек.

Примерами фигур могут служить: одна точка, любое конечное множество точек. Прямая и плоскость тоже рассматриваются как фигуры, состоящие из всех принадлежащих им точек.

Геометрия занимается изучением свойств фигур. В элементарной геометрии рассматриваются преимущественно так называемые метрические понятия и свойства, т.е. такие понятия и свойства, которые могут быть связаны с рассмотрением равенства углов и отношений отрезков (в частности, равенства отрезков). Типичным примером метрических понятий могут служить понятия: «перпендикулярность прямых», «окружность», «куб». Свойство четырехугольника быть квадратом есть метрическое свойство. Теорема Пифагора – метрическая теорема. Помимо элементарной геометрии существуют другие геометрии: аффинная, проективная и т.д.

Напомним некоторые определения из школьного курса геометрии. Например, определения понятий «отрезок», «луч». Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками. Эти точки называются концами отрезка, концы отрезка принадлежат этому отрезку. Отрезок обозначается указанием его концов, например так: [ AB ]. Полупрямой или лучом называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной ее точки и самой этой точки. Эта точка называется начальной точкой полупрямой.

Понятие отрезка используется для определения понятий выпуклой фигуры.

Определение. Фигура называется выпуклой, если она содержит каждый отрезок, соединяющий любые две ее точки.

Простейшими примерами выпуклых фигур могут служить прямая, луч, отрезок, плоскость и др. С понятием фигуры связано еще понятие «расстояние». Расстоянием от точки Р до фигуры Ф называют кратчайшее из расстояний от точки Р до точек фигуры Ф. Обозначают r (Р, Ф).

Приведем некоторые примеры определений геометрических фигур. Углом называется фигура, которая состоит из двух различных полупрямых с общей начальной точкой. Эта точка называется вершиной угла, а полупрямые – сторонами угла.

Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Перечислим геометрические понятия, знания о которых понадобятся для дальнейшего изложения этой главы и для решения задач.

Углы: смежные, вертикальные, параллельные и перпендикулярные прямые. Признаки равенства треугольников. Равнобедренный и равносторонний треугольник. Определение высоты, биссектрисы, медианы треугольника. Параллельные прямые, сумма углов треугольника. Прямоугольный треугольник. Геометрические построения.

Четырехугольник. Параллелограмм. Прямоугольник. Ромб. Квадрат. Трапеция. Теорема Пифагора. Тригонометрические функции угла. Декартовы координаты на плоскости. Преобразования фигур. Векторы на плоскости. Решение треугольников. Теорема синусов, косинусов. Многоугольники. Площади фигур.

Стереометрические понятия. Параллельность прямых и плоскостей. Изображение пространственных фигур на плоскости. Перпендикулярность прямых и плоскостей. Декартовы координаты и векторы в пространстве. Многогранники. Призма. Параллелепипед. Пирамида. Правильные многогранники. Тела вращения. Конус. Шар. Объемы тел. Площади поверхности тел.

Дата добавления: 2015-07-18