Читайте также:
|
|
Известно, что всякий многочлен третьей степени с действительными коэффициентами имеет, по крайней мере, один действительный корень. Поэтому всякий линейный, в том числе и ортогональный оператор имеет, по крайней мере, одно собственное значение , причем . Пусть – единичный собственный вектор ортогонального оператора с собственным значением . Обозначим и рассмотрим . Очевидно, – двумерное евклидово пространство. Выберем произвольные векторы и . Тогда
– собственный ортогональность .
Обозначим такой линейный оператор, что
( отличается от только областью определения). Очевидно, – тоже ортогональный оператор. Как и в любом евклидовом пространстве, в пространстве можно выбрать ортонормированный базис . Тогда – ортонормированный базис пространства . Матрица оператора в этом базисе имеет блочно диагональный вид ,
где – матрица оператора в базисе . В силу того, что оператор ортогональный, матрица тоже ортогональная. Это значит, что в подходящем ортонормированном базисе она может быть одной из матриц:
.
Перечисляя всевозможные принципиально различные виды матриц в подходящем ортонормированном базисе пространства , получаем
а) .
, – тождественный оператор;
, – симметрия относительно оси с направлением вектора ;
, – симметрия относительно плоскости, перпендикулярной вектору ;
, – поворот вокруг оси с направлением вектора .
б) .
, – симметрия относительно плоскости, перпендикулярной вектору ;
, – симметрия относительно начала координат;
, – симметрия относительно оси с направлением вектора ;
, – композиция поворота вокруг оси с направлением вектора и симметрии относительно плоскости, перпендикулярной этому же вектору.
Таким образом, все ортогональные операторы в трехмерном евклидовом пространстве – это: тождественный; симметрия относительно плоскости; симметрия относительно оси; симметрия относительно начала координат; поворот вокруг оси и композиция поворота вокруг оси и симметрии относительно плоскости, перпендикулярной этой же оси.
83.Симметричные операторы в
Как было доказано в § 3, для любого симметричного оператора в существует ортонормированный базис, в котором матрица оператора имеет диагональный вид. Перечислим все принципиально возможные различные случаи.
– тождественный оператор;
– симметрия относительно оси;
– симметрия относительно плоскости;
– симметрия относительно начала координат;
(перечисленные операторы одновременно являются и ортогональными);
– нулевой оператор;
– проектирование на ось с направлением вектора ;
– проектирование на плоскость, перпендикулярную вектору ;
– растяжение при и сжатие при ;
– растяжение от оси при и сжатие к оси при ;
– растяжение вдоль оси при и сжатие вдоль оси при
.
Рассмотрим теперь некоторую диагональную матрицу
,
в которой, например, . Тогда
,
т. е. оператор, заданный матрицей , есть композиция растяжений (или сжатий) вдоль трех взаимно перпендикулярных осей и симметрии относительно оси. Любая диагональная матрица может быть представлена в виде произведения перечисленных выше десяти простейших матриц. Например, при положительных и
,
откуда вытекает, что оператор с такой матрицей есть композиция двух растяжений вдоль осей, проектирования на плоскость и симметрии относительно другой плоскости.
Дата добавления: 2015-07-15; просмотров: 151 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Ортогональные операторы на евклидовой плоскости | | | Общее определение тензора |