Самосопряженные линейные операторы

Определение. Линейный оператор называется самосопряженным, если он сопряжен самому себе (), т. е., если

: . (7.4)

В комплексных евклидовых пространствах самосопряженные линейные операторы называются эрмитовыми, а в действительных – симметричными.

Теорема 7.3. Для того чтобы линейный оператор комплексного евклидова пространства в себя был эрмитовым, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в некотором, а значит, и в любом ортонормированном базисе пространства была эрмитовой.

Для того чтобы линейный оператор действительного евклидова пространства в себя был симметричным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в некотором, а значит, и в любом ортонормированном базисе пространства была симметричной.

Теорема 7.4. Все собственные значения эрмитова оператора действительны.

Следствия. 1. Все характеристические числа эрмитовой матрицы действительны.

2. Все характеристические числа симметричной матрицы действительны.

3. Любой симметричный оператор имеет, по крайней мере, одно собственное значение.

Теорема 7.5. Собственные векторы самосопряженного линейного оператора с различными собственными значениями взаимно ортогональны.

Теорема 7.6. Для любого самосопряжённого оператора в пространстве существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора .

Дата добавления: 2015-07-15