Определение размерности линейного пространства. Теорема о связи базиса и размерности. Следствия.

Определение. Число n называется размерностью линейного пространства V, а само пространство V называется n-мерным, если в V существует линейно независимая система из n векторов, а любая система из (n + 1)-го вектора линейно зависима. Размерность пространства по определению считается равной нулю.

Следствие. В n -мерном пространстве любая система из m векторов при m>n линейно зависима.

Размерность линейного пространства V сокращенно обозначается . Если , то пространство будем обозначать . Линейные n -мерные пространства называются конечномерными.

Определение. Линейное пространство V называется бесконечномерным, если в V найдется линейно независимая система из n векторов.

Теорема 3.2. Для того чтобы линейное пространство было n -мерным, необходимо и достаточно, чтобы в нем существовал базис, состоящий из n векторов.

Замечание. При доказательстве необходимости мы одновременно показали, что в n -мерном пространстве любая линейно независимая система из n векторов является базисом.

Следствие. Любой базис конечномерного линейного пространства V содержит одинаковое количество векторов.

Теорема 3.3. В n- мерном линейном пространстве любую линейно независимую систему из m векторов при m < n можно дополнить до базиса.

7. как пример аффинного, евклидова и метрического пространств.

Определение. Пусть А – множество элементов произвольной природы, V – действительное линейное пространство. А называется аффинным пространством, связанным с линейным пространством V, если задан закон, по которому каждой паре элементов , где , ставится в соответствие элемент , причем выполняются две аксиомы.

1*. (рис. 3.1).

2*. единственный такой, что . Этот вектор обозначается . Таким образом, (рис. 3.2).

Элементы аффинного пространства называются точками, а операция в аффинном пространстве называется откладыванием вектора от точки.

Рис. 3.1Рис. 3.2

Как видим, аксиомы аффинного пространства просто «списаны» со школьного точечного трехмерного пространства.

35.Определение матрицы перехода и её свойства.

Пусть в линейном пространстве заданы два базиса:

(3.41)

и

. (3.42)

Принадлежность вектора второму базису отмечается штрихом, причем удобно штрих ставить не на вектор, а на индекс, например, – пятый вектор второго базиса. Тогда каждый из векторов второго базиса можно разложить по первому. Все координаты будем обозначать одной и той же ключевой буквой t с двумя индексами: нижним индексом обозначим номер разлагаемого вектора, а верхним – номер координаты. Таким образом,

(3.43)

Учитывая нашу договоренность, систему равенств (3.43) можно сокращенно записать одним равенством:

(3.44)

(оцените красоту записи!)

Введем следующие обозначения:

(подчеркиваем, что это матрицы-строки)

.

Тогда =[располагаем по правилу цепочки] = , откуда вытекает, что

. (3.45)

Матрицей перехода от базиса (3.41) к базису (3.42) называется матрица Т = , столбцами которой являются координатные столбцы векторов второго базиса в первом базисе, т. е. матрица, удовлетворяющая системе равенств (3.43) или (3.44), либо одному матричному равенству (3.45).

Дата добавления: 2015-07-15