Правило нахождения собственных векторов

Пусть – линейный оператор. Выберем в какой-либо базис и обозначим А матрицу оператора в этом базисе. Если Х – координатный столбец собственного вектора в заданном базисе, а – соответствующее ему собственное значение, то (4.41)равносильно равенству , которое, в свою очередь, равносильно следующему:

. (4.47)

Равенство (4.47) можно рассматривать как матричную запись однородной системы линейных уравнений, причем нас интересуют только ее нетривиальные решения. Как следует из § 5 главы 2, для существования таковых необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

. (4.48)

Определение. Характеристическим многочленом матрицы А называется многочлен , уравнение (4.48) называется характеристическим уравнением матрицы А, а корни этого уравнения – ее характеристическими числами.

Лемма 4.3. Если определитель однородной квадратной системы линейных уравнений

AX = О, (4.49)

равен нулю, то при любом набор

(, , …, ), (4.50)

где – алгебраическое дополнение к элементу матрицы А, – решение системы (4.49).

---

Дата добавления: 2015-07-15