Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Расстояние от точки до плоскости

Пусть плоскости и заданы общими уравнениями:

, ,

– нормальные векторы этих плоскостей соответственно.

Плоскости и параллельны или совпадают тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны. Записывая условие коллинеарности векторов (2.6), получаем: если то плоскости параллельны; если то плоскости совпадают.

Если же координаты векторов не пропорциональны, то плоскости пересекаются по некоторой прямой l. Очевидно, что

.

Отсюда получаем условие перпендикулярности плоскостей

.

Как и для двух прямых на плоскости можно вывести следующую формулу:

,

где – один из смежных двугранных углов между плоскостями. Расстояние d от точки М ₀(х ₀, у ₀, z ₀) до плоскости вычисляется по формуле:

Пример 3.5. Составить уравнение плоскости , проходящей через точку
M ₁(–1, 2, 5) параллельно плоскости : .

Решение. Нормальный вектор ={2, –3, 0} плоскости является также нормальным вектором плоскости . Используя равенство (3.11) получаем:

– уравнение плоскости по точке и нормальному вектору. Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, найдем – общее уравнение плоскости.

---

Дата добавления: 2015-07-15