Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Плоскость в пространстве

Читайте также:
  1. III. Расстояние между точкой и плоскостью
  2. V2: Пространственный и косой изгиб
  3. В пространстве Брука
  4. В трехмерном евклидовом пространстве
  5. Векторы на плоскости и в пространстве
  6. Взаимное расположение в пространстве двух прямых, прямой и плоскости
  7. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Расстояние от точки до плоскости

Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат: 0 – начало координат, – единичные направляющие векторы осей координат, соответственно 0 х, 0 у и 0 z. Рассмотрим в пространстве произвольную плоскость . Выведем уравнение этой плоскости, т.е. уравнение, содержащее переменные х, у, z, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на плоскости и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащейна этой плоскости.

Пусть задана точка М 1(х 1, у 1, z 1) и вектор = { А, В, C } перпендикулярный плоскости (нормальный вектор плоскости). Пусть M (x, у, z) – произвольная точка, принадлежащая плоскости . Тогда вектор

перпендикулярен вектору (рис. 3.11), а поэтому = 0 (условие перпендикулярности векторов (см. разд. 2.4)) или

. (3.11)

Итак, координаты любой точки М, лежащей в плоскости , удовлетворяют этому уравнениюи, легко видеть, что координаты точки, не лежащей в плоскости , не удовлетворяют уравнению (3.11). Следовательно, уравнение (3.11) является уравнением плоскости и называется уравнением плоскости по точке и нормальному вектору.

Уравнение (3.11) является уравнением первой степени относительно текущих координат х, у, z. Можно показать (аналогично тому, как это было сделано в разд. 3.1), что всякое уравнение первой степени относительно x, у, z

(3.12)

является уравнением некоторой плоскости (оно называется общим уравнением плоскости), причем вектор = { А, В, C }, является нормальным вектором плоскости.

Если в уравнении (3.12) D = 0, то этому уравнению удовлетворяет тройка чисел (0, 0, 0), т.е. соответствующая плоскость проходит через начало координат. Нетрудно видеть, что плоскость 0 ху имеет уравнение , плоскость 0 xz – уравнение , a плоскость 0 yz задается уравнением .

Известно, что плоскость однозначно определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой. Пусть и М (х, у, z) – произвольная точка плоскости (рис. 3.12). Рассмотрим векторы

они компланарны, поэтомуих смешанное произведение равно 0, т.е.

(3.13)

Это уравнение называется уравнением плоскости по трем точкам.

Пусть плоскость пересекает оси координат в точках: М 1(а, 0, 0), М 2(0, b, 0), M 3(0, 0, с). Подставляяих координаты в уравнение (3.13), находим:

Вычислив определитель, получим:

,

откуда

Это уравнение называется уравнением плоскости в отрезках.

Пример 3.4. Построить плоскость, заданную общим уравнением:

.

Решение. Преобразуем данное уравнение в уравнение в отрезках


M 1
Видим, что плоскость отсекает на осях 0 x, 0 y, 0 z, соответственно отрезки 3, 2, 1. Следовательно, она проходит через точки

М 1(3, 0, 0), М 2(0 2, 0), М 3(0, 0, 1).

По этим данным легко построить плоскость (рис. 3.13).


Дата добавления: 2015-07-15; просмотров: 102 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Из определения скалярного произведения и формул (2.5), (2.9) следует, что | Смешанное произведение векторов и его свойства | ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА | Линейная комбинация векторов | Связь между матрицами одного и того же линейного оператора в разных базисах | Собственные векторы и собственные значения линейного оператора | Линейные преобразования евклидова пространства | Квадратичные формы | Нормальный вид квадратичной формы | Прямая на плоскости |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой| Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Расстояние от точки до плоскости

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.009 сек.)