Читайте также:
|
|
Пусть прямые l 1 и l 2 заданы каноническими уравнениями:
l 1: l 2: .
Направляющие векторы этих прямых соответственно будут:
Углом между прямыми называется угол между прямыми, проведенными параллельно данным через какую-нибудь точку пространства. Один из смежных углов, очевидно, будет равен углу между направлявшими векторами , который вычисляется по формуле (2.4):
Условия параллельности и перпендикулярности прямых совпадают, соответственно с условиями параллельности или перпендикулярности векторов .
Чтобы определить взаимное расположение прямых l 1 и l 2 и найти точку их пересечения (если они пересекаются), достаточно решить систему уравнений с тремя неизвестными:
Если эта система имеет единственное решение х 0, у 0, z 0, то прямые пересекаются в точке М 0(х 0, у 0, z 0).
Если система имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают.
Если система не имеет решений, то прямые l 1 и l 2 не имеют общих точек, а потому либо параллельные, либо скрещивающиеся. Пусть заданы плоскость и прямая l:
, l:
Если система из этих трех линейных уравнений с тремя неизвестными х, у, z имеет единственное решение, то l и пересекаются; если система несовместна, то ; если система имеет бесконечное множество решений, то прямая l лежит в плоскости .
Условие параллельности l и совпадает с условием перпендикулярности векторов и , т.е.
Условие перпендикулярности l и будет выглядеть так:
(Убедитесь в этом!).
Пример 3.7. Выяснить взаимное расположение прямой l и плоскости , если они заданы уравнениями:
Решение. Запишем уравнения прямой l в параметрической форме:
(3.16)
1) Подставим эти выражения в уравнение плоскости , получим:
.
Решая это уравнение, получим t 1 = 1. Подставим это значение в систему (3.16) получим , , . Следовательно, прямая и плоскость пересекаются в точке М 1(3, 2, 7).
2) Подставим х, у, z из (3.16) в уравнение плоскости :
.
Получили противоречивое уравнение, значит, соответствующая система решенийне имеет, а поэтому .
3) Подставим х, у, z из системы (3.16) вуравнение плоскости :
,
отсюда видно, что параметр t может принимать любые значения, при этом соответствующая точка прямой l принадлежит плоскости . Значит, прямая l лежит в плоскости .
Дата добавления: 2015-07-15; просмотров: 182 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Уравнения прямой в пространстве | | | Кривые второго порядка. Окружность |