Общее определение тензора

В предыдущих главах мы уже изучали различные объекты на линейном пространстве – линейные и билинейные формы, линейные операторы. Если в линейном пространстве задан базис

, (8.1)

то каждый из этих объектов в выбранном базисе задается совокупностью чисел, снабженных одним или двумя индексами. Если же в задан еще один базис

, (8.2)

то эти числа при переходе от одного базиса к другому меняются по определенным законам. Так, если – закон изменения базисных векторов, то

– закон изменения координат вектора,

– закон изменения компонент линейной формы,

– изменение элементов матрицы линейного оператора,

– изменение элементов матрицы билинейной формы

(здесь везде – матрица перехода от базиса (8.1) к базису (8.2), – обратная к ней).

Определение. Тензором типа (p, q) (или p раз контравариантным и q раз ковариантным) на линейном пространстве называется объект , который в каждом базисе (8.1) линейного пространства задается совокупностью чисел , снабженных p верхними и q нижними индексами, – компонент тензора, причем при переходе от базиса (8.1) к базису (8.2) компоненты тензора изменяются по закону:

, (8.3)

где - матрица перехода от (8.1) к (8.2), – обратная к ней. Этот закон преобразования впредь будем называть тензорным.

Число p + q называется валентностью (или рангом) тензора.

Определения. Тензор называется нулевым, если все его компоненты в некотором, а значит, и в любом базисе пространства равны нулю.

Два тензора одного типа называются равными, если совпадают их соответствующие компоненты в некотором, а значит, и в любом базисе пространства .

Тензор называется симметричным по паре верхних индексов или по паре нижних индексов, если при перестановке этих индексов его компоненты не меняются.

Например, если ,

то тензор симметричен по первому и третьему верхним индексам.

Тензор называется полностью симметричным по всем верхним (нижним) индексам, если он симметричен по любой паре верхних (нижних) индексов.

Тензор называется антисимметричным по паре верхних (нижних) индексов, если при перестановке этих индексов его компоненты лишь меняют знак.

Например, если ,

то тензор антисимметричен по первому и третьему нижним индексам.

Дата добавления: 2015-07-15