Доказательство. Так как f(x) и g(x) взаимно обратны, то f(x) f(xо) и g(y) g(yо) при y=f(x) не обращаются в нуль

Так как f(x) и g(x) взаимно обратны, то f(x) f(x_о) и g(y) g(y_о) при y=f(x) не обращаются в нуль, если x x_о, y_о= f(x_о).

Из непрерывности f(x) в точке x_о и g(y) в точке y_о следует, что (x x_о) (y y_о).

Используя теорему о пределе сложной функции и арифметические свойства пределов функции, при ∆x 0, ∆y 0 получаем = = = = .

Пример.

f(x)= , X= .

X=g(y)=arcsin y, y

x y=sin x ( 1, 1).

Применяя теорему о производной обратной функции, получаем

(arcsin y)´= = = = .

Таблица производных.

1. f(x)= , X

Возьмём внутреннюю точку X, сместимся из неё в точку x+∆x, не покидая X, x+∆x X и пусть ∆x 0.

По определению f´(x)= .

Пусть x 0.

f(x+∆x) f(x)= = · = · ·∆x f´(x)= = = · .

.

Пусть x=0, >1 =∆x.

= =0

=1.

<0 (либо точка x=0 не является внутренней, либо нет производной).

2. f(x)= , a>0, a 1, X=(, + )

x X, ∆x 0, x+∆x X.

а) f(x)=

= = = .

б) f(x)= = .

Применяя теорему о производной сложной функции, получаем ()´=()´= .

3. f(x)= , X=(0, + ), x X, ∆x 0, x+∆x X.

= = = .

f(x)= , a>0, a 1, X=(0, + ).

=

4. f(x)= , X=(, + ), ∆x 0, x+∆x X.

= = = = = .

5. f(x)= , X=(, + )

= = = = =

6. f(x)=tg x =

(tg x)´= = =

7. f(x) =ctg x = =

8. y= f(x)= , X= , Y=[ 1, 1]

Применяя теорему о производной обратной функции, получаем

()´= = = = , x (, ) y ( 1, 1)

9. x=arcos y = , y ( 1, 1)

10. x=arctg y, Y=(, + )

tg x =y (arctg y)´= = = =

11. x=arcctg y, Y=(, + )

(arcctg y)´= = = =

Глава 6. Дифференцируемая функция. Дифференциал.

Понятие дифференцируемой функции в точке и дифференциала.

Определение.

Пусть f(x) имеет стандартную область определения X, x_о – внутренняя точка одного из промежутков, образующих X.

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке x _о, если её приращение в точке x_о ∆f(x_о; ∆x), вызванное смещением ∆x, может быть представлено в виде ∆f(x_о; ∆x)=A·∆x+ (∆x), где A –число, а (∆x)= .

Определение.

Пусть f(x) дифференцируема в точке x_о. Главная линейная часть приращения функции называется дифференциалом функции f(x) в точке x_о.

Обозначение:

∆f(x_о; ∆x)=A·∆x+ (∆x)=df+ , то есть =0

Примеры.

1. f(x)= , X=(, + )

x_о=2

∆f(2; ∆x)= =4+4∆x+ =4∆x+

A=4, (∆x)= =

df=4∆x

2. f(x)= , X=(, + )

а) x _о =8 ∆f=∆f(8; ∆x)=f(8+∆x) f(8)= = 1 ∆x

Главная линейная часть в точке x_о =8.

∆f(8; ∆x)= ∆x+

б) x_о =7. ∆f(7; ∆x)= ∆f(7; ∆x) f(7)= = .

Главной частью приращения функции ∆f является , A=0, 0.

Функция f(x)= не является дифференцируемой в точке x_о=7, так как приращение функции не является линейной от ∆x при

(∆f(7; ∆x)= имеет порядок при )

Теорема 1. (Необходимое условие дифференцируемости функции в точке.)

Пусть f(x) имеет стандартную область определения X, и во внутренней точке x_о одного из промежутков X f(x) дифференцируема.

Тогда f(x) непрерывна в точке x_о.

Дата добавления: 2015-10-30